LOS MISTERIOSOS NÚMEROS IRRACIONALES

En el siglo V a.C., en las costas e islas que baña el mar Egeo y ahora corresponden a Grecia y Turquía se produce una verdadera revolución en el desarrollo de la Matemática. Por entonces suenan nombres como: Partenón, Erecteion, Templo de Poseidón en Cabo Sunion, ... Pericles, Esquilo, Hipócrates, Sócrates, Platón, …. Vamos, que todos los campos estaban sembrados.

En la isla de Samos vive Pitágoras, entre profeta y místico medio siglo después de que cerca de allí viviera Tales (en Mileto). Funda una orden de tipo comunal y secreto con un código de conducta muy estricto. Esto unido a que se ha perdido mucha documentación (incluida una biografía atribuida a Aristóteles) hace que lo que se sepa de ellos sea poco y esté poco fundado. Sabemos que el famoso Teorema de Pitágoras ya era conocido por los babilonios (los abuelos de los irakíes) se cree que lleva su nombre por que encontró una demostración, pero tampoco esto es seguro.

La escuela pitagórica tocaba temas de toda naturaleza: moral, costumbres, ideología (conservadora), …. Mostraban confianza en la prosecución de los estudios filosóficos y matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Se dice que el lema de la escuela pitagórica era “Todo es número”.

En los Diálogos de Platón se nos cuenta la conmoción que supuso para la comunidad un descubrimiento que demolía las bases de la fe pitagórica en los números enteros. Eso parece que ocurrió a mediados del siglo V a.C. y se atribuye a Hipaso de Metaponto, pero todos estos datos están muy poco fundados. Se dice que el miembro de la orden que lo divulgó murió ahogado en el Mediterráneo al caerse del barco durante una tormenta.

La cuestión es esta: Un segmento y sus divisores se suponían instrumento válido para medir cualquier longitud. Es decir, pensaban que el cociente entre una longitud cualquiera y la longitud del segmento patrón viene dada siempre por una fracción de números naturales. Sin embargo descubrieron que el lado de un cuadrado no sirve como unidad para medir la longitud de su diagonal. Es decir,…

“El lado y la diagonal de un cuadrado son magnitudes inconmensurables”.

Para entender su maravillosa y simple demostración pondremos sobre el tapete los ingredientes que vamos a utilizar

- Será una demostración por reducción al absurdo: supondremos que la tesis que afirma el teorema no es cierta y por un proceso lógico-deductivo llegaremos a una situación imposible.

- Utilizaremos dos propiedades de la paridad de los números: Los números pares tienen cuadrados pares y viceversa. Lo mismo les ocurre, naturalmente, a los impares.

- Usaremos que todo número par es el doble de otro número entero.

Demostración:

Llamamos a al lado del cuadrado y d a su diagonal, queremos demostrar que no existe ninguna fracción de números naturales p/q que sea igual a la relación entre el lado y la diagonal d/a.

Supongamos que sí existe: , fracción ésta que suponemos simplificada, es decir que p y q no tienen divisores comunes. Eso impide que p y q sean los dos pares.

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles que forman dos lados y la diagonal obtenemos:

a² + a² = d² , es decir, 2 a² = d²

pero esto significa que (1) y por lo tanto p² = 2q² (2) , es decir, el número p² es par luego también lo es p.

Pero eso significa que p es el doble de otro número:

p = 2m , por lo tanto p² = 4m²

pero si tenemos en cuenta la expresión (2) vemos que

2q² = 4m² de donde obtenemos que q² = 2m²

por lo que q² es par y en consecuencia, también lo es q . Pero habíamos dicho que p y q no pueden ser ambos pares, por lo tanto hemos llegado a una contradicción lo que demuestra la imposibilidad de la hipótesis.

Por lo tanto queda demostrada la propiedad: el lado y la diagonal del cuadrado son inconmensurables.

Como se ve en (1) lo que significa aplicando la propiedad anterior que el número no se puede expresar como un cociente de números enteros, es decir no es un número fraccionario o racional. Queda inaugurado, pues, un pantano de números que como éste no son racionales, les llamamos números irracionales.

Este conjunto fue creciendo con otras raíces cuadradas no exactas, con las raíces cúbicas, cuartas, etc. Otros miembros famosos de esta familia son el número PI y el número e (que ya os presentaré en otro lugar).

Al llegar la notación posicional de los números apareció la expresión decimal de un número y se observó que los números irracionales tienen siempre infinitas cifras decimales no periódicas.

Empezamos a comprender que la cantidad de irracionales es infinita cuando nos damos cuenta que entre dos números racionales todo lo próximos que queramos podemos encontrar cuantos irracionales queramos, la idea es la siguiente:

Entre 1,257 y 1,258 encontramos irracionales como:

1,25710110111011110… , 1,25723223222322223… , etc.

Sería Cantor quien llegaría en estos temas a resultados sorprendentes. Pincha aquí si quieres seguir esta historia de los irracionales.