¿Existen diferentes clases de infinito?

 


 

Comenzaremos por la notación.

 

Trabajaremos con los conjuntos numéricos de toda la vida...

 

Los números naturales:  N = 1, 2, 3, 4, …

Los múltiplos (positivos) de 2 :   2N = 2, 4, 6, 8, ….

Los números enteros:   Z = 0, 1, -1, 2. -2, 3, -3, ….

Los números racionales (o fraccionarios):   Q =  0, 1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, ….., 2/1, -2/1, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3, 2/4, -2/4, …….   (observa que en esta lista aparecen números repetidos que en buena lógica deberíamos quitar:  1/1  es lo mismo que 2/2 ,…  1/2 es lo mismo que 2/4, …)

Los números irracionales: I (que no se pueden expresar en forma de fracción como   , π, etc...).

Los números reales:  R = La reunión en un solo conjunto de racionales e irracionales.

 

 

¿En qué conjunto hay más números, en N o en 2N?  ¿En N o en Z? ¿En N o en Q?

 

Sí, ya sabemos que en todos hay infinitos números, pero … ¿son iguales o un infinito es mayor que otro?

 

Necesitamos ponernos de acuerdo en lo que significa la pregunta. Para ello…

nos vamos a una fiesta imaginaria con ambiente de los años 50 y queremos saber si hay más chicos que chicas. Lo averiguaremos haciendo que suene un rock and roll  y pidiendo que se formen todas las parejas de baile posibles. Al final nos bastará con observar a los que no han podido encontrar pareja para saber si hay más chicas que chicos o al revés.

 

Dos conjuntos (infinitos o no) tienen el mismo número de elementos si se puede establecer una relación uno-uno (vamos, que se pueden formar parejas mixtas sin que sobre nadie).

 

Y dicho esto, basta echar una ojeada a la siguiente tabla para ver que en N y 2N hay el mismo número de elementos:

 

N

1

2

3

4

5

….

2N

2

4

6

8

10

….

 

Y lo mismo con N y Z:

 

N

1

2

3

4

5

6

7

8

Z

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

 

Y esto no es nada, el gran maestro en estos asuntos, George CANTOR, de un modo sencillo consiguió emparejar uno-uno a los naturales N con los racionales Q. Utilizó una tabla como la siguiente donde fue escribiendo ordenadamente todos los números racionales… (Observa que, por ejemplo, el número 47/123 está en la columna 47 y en la fila 123)

 

1/1

2/1

3/1

4/1

5/1

..

1/2

2/2

3/2

4/2

..

..

1/3

2/3

3/3

..

..

..

1/4

2/4

..

..

..

..

1/5

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

 

Pues bien CANTOR los ordenó por un camino con diagonales en zigzag así:   1/1  ,  2/1  ,  1/2  ,  1/3  ,  2/2  ,  3/1  ,  4/1  ,  3/2  ,  2/3  ,  1/4  ,  1/5  ,  2/4  ,  ….   Lo verás mejor si dibujas una línea en la tabla que siga la lista anterior. Si de esta lista quitamos las fracciones repetidas, podemos proceder al emparejamiento de N con los racionales positivos:

 

N

1

2

3

4

5

6

7

8

Q+

0

1/1

2/1

1/2

1/3

3/1

4/1

3/2

 

Para emparejar N con todo Q basta mantener la tabla anterior cambiando la fila superior por los números pares y añadir los naturales impares emparejados a los racionales negativos .

 

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Q

0

1/1

-1/1

2/1

-2/1

1/3

-1/3

3/1

-3/1

4/1

-4/1

 

Parece reforzarse una conjetura: todos los infinitos son iguales. Y todos son de la misma magnitud que los números naturales N.

 

Al infinito referido a los números naturales se le llama 0  (Aleph sub cero). Los conjuntos que se pueden emparejar con los naturales decimos que son numerables.

 

Pero CANTOR nos demostró que estamos equivocados probando que

 

En cualquier intervalo de números reales existe una cantidad infinita de números que no se puede poner en relación uno-uno con los naturales. Es decir, los números reales no son un conjunto numerable.

 

Veamos su demostración que haremos con el intervalo (0,1)  es decir, el conjunto de números comprendidos entre 0 y 1 sin incluirlos. Todos sus números de ese intervalo tienen la forma 0’abcde…., por ejemplo 0’3200…  0’125… 0’2323…   Por si hubiera entre el público alguno especialmente meticuloso, aclararemos que aquellos números que terminan en una infinidad de 9, como el 0’359999 , se pueden escribir, también, de forma que acaben en una infinidad de 0; en nuestro ejemplo 0’360000… Pues bien, convendremos en que, en estos casos, optaremos por la versión con ceros. De modo que cada número real del intervalo (0,1) tiene una única representación de la forma 0’abcde… 

 

Teorema:  El conjunto de números reales del intervalo (0,1) no es numerable, es decir, no se puede poner en correspondencia uno-uno con el conjunto de los números naturales.

 

Demostración:  (por el método de reducción al absurdo)

 

Supongamos que no es cierto, es decir, que sí existe una forma de emparejar ambos conjuntos. Pongamos que se trata del siguiente emparejamiento:

 

N

(0,1)

1

0’a1a2a3a4a5….

2

0’b1b2b3b4b5….

3

0’c1c2c3c4c5….

4

0’d1d2d3d4d5….

 

 

 

Vamos a construir un número real entre 0 y 1 que no está en esta lista: será el número X = 0’x1x2x3x4x5…. definido de la siguiente manera:

 

Elegiremos la primera cifra decimal x1 que no coincida con a1 y que no sea ni 0 ni 9.

Elegiremos la segunda cifra decimal x2 que no coincida con b2 y que no sea ni 0 ni 9.

Elegiremos la tercera cifra decimal x3 que no coincida con c3 y que no sea ni 0 ni 9.

Y así sucesivamente.

 

El número así construido no coincide con el primero de la lista porque son distintas sus primeras cifras decimales, no coincide con el segundo porque son distintas sus segundas cifras decimales, etc. Este número, pues, no está en la lista.

 

Pero esto contradice la suposición inicial por lo que queda demostrado el teorema.

 

El conjunto de los números reales del intervalo (0,1) es infinito, pero su orden de infinitud no es el mismo que el de los números naturales. A ese orden de infinitud se le llama la potencia del continuo y se suele designar por la letra c

 

Es sencillo demostrar que si el intervalo (0,1) no es numerable, tampoco lo es cualquiera otro intervalo de números reales y tampoco lo es el propio conjunto de los números reales R. Decimos, pues, que R y cualquier intervalo no vacío de números reales tiene la potencia del continuo.

 

Cantor demostró una propiedad bastante sencilla y razonable (aunque la intuición se debe limitar enormemente en este terreno de lo infinito):  Si dos conjuntos son numerables, también lo es el conjunto que se crea al unirlos.  Lo que le permitió explorar en el territorio siempre misterioso de los números irracionales. Este conjunto ya atormentó a los pitagóricos hasta el punto que decidieron esconder su descubrimiento: guardaron en secreto la prueba de que la diagonal del cuadrado y su lado son inconmensurables. Como el conjunto de los números reales (no numerable como hemos visto) es la unión de racionales e irracionales, éstos tienen que ser no numerables ya que si fueran numerables, lo tendría que ser R y no lo es. Resulta probado, pues, que I es no numerable mientras que ya sabíamos que Q sí lo es. Así que ese conjunto cuya existencia descubrieron los pitagóricos y del que se conocían no muchos elementos: los radicales, el número Pi, ... , es tan grande que si elegimos un número real al azar, la probabilidad de que sea racional es ¡¡ 0 !! El conjunto de los números irracionales I tiene la potencia del continuo.

 

Pero Cantor iría todavía más lejos.

 

Llamamos números construibles a los números que con ayuda de los instrumentos clásicos de dibujo (regla y compás) se pueden representar sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que representan al 0 y al 1. Todos los números racionales son construibles y algunos irracionales también.

 

Llamaremos números algebraicos a las raíces de ecuaciones polinómicas (ecuaciones de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio de cualquier grado en la indeterminada x. Por ejemplo: 2x - 8 = 0 (solución x = 4). Todos los racionales son algebraicos, y, también lo son todos los irracionales construibles. Al revés no es cierto, de manera que los números construibles son un subconjunto estricto (no igual) de los algebraicos.

 

Pues bien, Cantor probó que el conjunto de los números algebraicos es un conjunto numerable. Esto nos lleva a dos consideraciones:

 

• Dentro del conjunto de los irracionales existe un conjunto de números que no son algebraicos. A esos números los llamamos trascendentes.

• Como los números algebraicos son numerables, el resto de números reales, los trascendentes, tienen que tener la potencia del continuo.

 

 

 

En el gráfico:

 

1-  Números Racionales. (Todos son construibles)

2-  Números irracionales algebraicos construibles.

3-  Números irracionales algebraicos no construibles.

4-  Números irracionales trascendentes.

1+2+3 forman un conjunto numerable, 4 tiene la potencia del continuo.

 

Cantor publicó estos resultados en 1874.

Los primeros números trascendentes que se conociéron fueron los "números de Liouville" (por ejemplo: 0'100100010000... ) en 1844. El primer caso de un número previamente conocido y que resultara ser trascendente fue el número e, que en 1873 quedó probada su "trascendencia" por el matemático francés Hermite.

 

En 1882 el matemático Lindemann probó que el número PI (cuya irracionalidad había sido probada por Lambert en 1770) es trascendente. Con ello dejaba zanjado uno de los problemas clásicos de la matemática: la cuadratura del círculo es imposible (si fuera posible, el número Pi sería construible y, por lo tanto algebraico). En doce años se había acabado una doble pelea: la búsqueda de la fracción equivalente al número Pi y la cuadratura del círculo.

 

Termino con un par de cosas que dijo el gran matemático David Hilbert a propósito de Cantor y sus descubrimientos:

 

• “…el más sorprendente producto del pensamiento matemático y una de las realizaciones más bellas de la actividad humana en el dominio de la inteligencia pura”

• “ Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros.

 

 

Nota: en estos textos pretendo sobretodo que los conceptos sean comprendidos, que los personajes sean conocidos y que se aprecie la belleza que encierran las Matemáticas. Pido disculpas por los errores históricos e incluso matemáticos que haya podido cometer.