El Teorema de Pitágoras.
Es, quizás, el teorema más conocido por todo
el mundo, pero... no es de Pitágoras. Era conocido desde mucho antes. Es posible
que los pitagóricos lo demostraran, pero tampoco tenemos seguridad en esto.
No importa, la mayoría de los teoremas que llevan el nombre de un matemático
no fueron descubiertos ni demostrados por éste.
La demostración que vamos a ver es la Proposición
47 que aparece en el Libro I de los Elementos de Euclides
y solamente utiliza conceptos anteriores muy simples como el área del triángulo,
del rectángulo, la igualdad de ángulos y triángulos, y poco más.
Teorema: "En
los triángulos rectángulos, el cuadrado construido sobre el lado que subtiende
el ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados sobre los lados que contienen
dicho ángulo".
Vamos, que prefería hablar en el lenguaje
de la geometría.
Hoy solemos decir que “el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Demostración: Sea
el triángulo de la figura, rectángulo en A.
Veremos que:
-
Los triángulos CDB y CAI son iguales
(los ángulos obtusos son 
iguales
ya que ambos son iguales a un recto más el ángulo ACB y los lados que forman
los ángulos obtusos son iguales por ser lados de cuadrados).
-
El área del triángulo CDB es igual a la
mitad de la del cuadrado ACDE (tiene la misma base CD y la misma altura).
El área del triángulo CAI es igual a la
mitad de la del rectángulo CJKI (tienen la misma base CI y la misma altura)
De lo anterior de desprende que el cuadrado
ACDE tiene la misma área que el rectángulo CJKI. Por un procedimiento análogo
se demuestra que el cuadrado FGBA tiene la misma área que el rectángulo JBHK
y, por lo tanto queda demostrada la proposición.
Por otra parte es de destacar que Euclides escribe
a continuación la Proposición 48 que es la demostración del teorema recíproco
y, casualmente, es la propiedad que, en la práctica, venía utilizándose desde
antiguo para el trazado de perpendiculares mediante una cuerda de 9 nudos
separados a distancias iguales.
Proposición 48.-
"Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los
lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los otros dos
lados del triángulo, el ángulo formado por estos dos lados es un ángulo recto".
Demostración.-
En el triángulo ABC suponemos que se cumple
que CB2 = AC2 + AB2
Trazamos una semirrecta AE perpendicular
al lado AC y en ella señalamos el punto D de manera que AD = AB.
Los
triángulos ABC y ADC son necesariamente iguales, porque
-
Comparten el lado AC
-
AD = AB porque hemos señalado el punto
D con esa condición.
-
CD = CB porque el triángulo CAD es rectángulo
y por lo tanto se le puede aplicar el teorema de Pitágoras, luego CD2
= AC2 + AD2 =
AC2 + AB2 = CB2