CONTINUIDAD. CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES

I. Estudio intuitivo de la continuidad

I.a.- Estudio de las funciones y = sgn(x) e y = 1/x.

Observa la escena que tienes a continuación. El parámetro m puede tomar dos valores:1,2. Seleccionandolos puedes ver dos funciones diferentes. Variando el parámetro B.x veras que se mueve el punto B recorriendo la gráfica, tambien puedes moverte arrastrando con el ratón el punto amarillo que está sobre el eje de abscisas.

Si seleccionas m=1 verás representada la función y = sgn(x) :

sgn(x) = 1 si x > 0 ; sgn(x) = -1 si x < 0 ; sgn(x) no existe si x = 0.

Si seleccionas m=2 verás representada la función y = 1/x

 

 

Para el valor del parámetro m = 1, en la función y = sgn(x) :

1.-Recorre la funcion arrastrando el punto amarillo con el ratón. ¿Qué ocurre en el punto 0 ?. En el parámetro B.x, toma valores cercanos a cero, tanto por la izquierda (menores que cero), como por la derecha (mayores que cero).Habrás visto que, al pasar por 0, el punto B da un salto, su ordenada pasa de (-1) a (1).

2.-Piensa : Esta función ¿es contínua ó discontínua ?.Escribe razonadamente tu respuesta.

Para el valor del parámetro m=2, en la función y = 1/x :

3.-Recorre la función arrastrando el punto amarillo del eje de abscisas con el ratón, ¿qué ocurre en el punto 0?. Varia el parámetro B.x para valores muy cercanos a 0,si B = (B.x, B.y), son las coordenadas del punto B de la gráfica, cuando la abscisa B.x está muy cercana a cero, tanto por la derecha como por la izquierda, ¿qué valores toman sus imágenes (B.y)?¿cuál es la imágen de B.x = 0?.

4.-¿Cómo te parece esta función, contínua ó discontínua?.Escribe razonadamente tu respuesta.

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I.b Estudio de las funciones e

Observa la siguiente escena, variando el parámetro m, ahora vas a ver dos funciones diferentes:

Para m = 1 la función , definida sólo para los x > -5.

Para m = 2 la función .

Igual que antes, puedes recorrer las funciones arrastrando el punto amarillo del eje de abscisas con el ratón, o variando el parámetro B.x.

Para el valor m = 1, observa la función ,definida solo para los x > -5.

5.-¿Qué le pasa al punto B cuando B.x = 2?, ¿Cuál es su imagen?. ¿Cuál es la imagen de los puntos cercanos a 2, tanto a su derecha como a su izquierda?

6.-¿Piensas que esta función puede ser contínua?.Escribe razonadamente tu respuesta.

Para el valor m = 2, observa la función .

7.-¿Qué ocurre para los valores B.x < -5 o B.x = -5? ¿Es contínua?. Escribe razonadamente tu respuesta.

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I.c.- Estudio de la función y = log(x).

Observa la función y = log (x), no existe para los x<0 o x=0, pero ¿cómo se comporta para los demás valores de x?.

Vamos a estudiar su continuidad en un punto A, que tu puedes elegir sin más que variar el valor del parámetro A.x ,que es la abscisa de A.

Una vez fijado A, con el punto P puedes recorrer la gráfica, arrastrándolo con el ratón, o cambiando los valores del parámetro P.x, que es la abscisa de P.

9.-¿Crees que esta función es contínua en el punto A ?. Razona tu respuesta y escríbela.

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II. Definición de continuidad de una función en un punto.

II.a.- Una función f(x) es contínua en un punto a si :

Las siguientes definiciones i, j, k son equivalentes:

i.- Existe la imagen de la función en el punto a : f(a) y .

j.- " f (x) es contínua en x=a si ".

k.- Para que una función f(x) sea contínua en un punto x = (a), además de que exista f(a), han de existir el límite cuando x tiende a (a) por la derecha , el límite cuando x tiende a (a) por la izquierda , ser iguales entre sí para que la función tenga límite, y a su vez ser iguales a f(a).

10.-Observa la función, haz que el punto P tienda a A arrastrandolo con el ratón, o tomando valores del parámetro (a+h) muy próximos a (a), tanto a la izquierda como a la derecha de a , veras que h tiende a 0. ¿Qué valores toma el incremento de la función : f (a+h) - f (a)?. Razona tu respuesta.

11.-Si llamamos (a+h) = x , cuando (x) tiende a (a) ¿a qué tiende f (x)?. Escribe tu respuesta razonándola.

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II.b.- Interpretación geométrica de la continuidad de una función en un punto.

Una función f (x) es contínua en un punto x = a si :

"Para todo entorno de centro f (a) y radio ß, existe un entorno de centro a y radio ð tal que todos sus puntos x tienen su imagen f(x) dentro del entorno de centro f (a) y radio ß".

De otra forma: "Si x dista de a menos de ð, su imagen f(x) dista de f (a) menos que ß".

Analizando la siguiente escena, estudiemos la continuidad de la función en el punto a = 6 :

f (6) = 3,6

Si ß = 1 , los puntos P cuya abscisa x está dentro del entorno (6-ð , 6+ð ) = (5,22 , 6,78) tienen su imagen f (x) dentro del entorno de centro f (6) = 3,6 y radio 1. Compruebaló arrastrando el punto P, con el ratón, por la curva.

Puedes comprobar que si x se acerca a 6 su imágen f (x) se acerca a f (6).

Cambia el valor del parámetro ß en la escena, verás que para cada valor de ß, ð adquiere distinto valor. Arrastra el punto P con el ratón y observa qué valores de x cumplen que su imagen está dentro del intervalo (f (6)-ß, f (6)+ß) .

Para cualquier valor que cojamos del parámetro ß, siempre obtenemos un valor del radio ð, tal que si x dista de 6 menos que ð, entonces f (x) dista de f (6) = 3,6 menos de ß.

Esto quiere decir que

Seguimos trabajando en el punto a = 6.

12.- ¿Cuánto vale el radio ð si ß = 0.8?.

13.- ¿Qué valores de x cumplen que su imagen f(x) dista de 3,6 menos de 0,5?. Puedes resolverlo arrastrando el punto P con el ratón a traves de la curva. Escribe tu respuesta.

14.- Para a = 6 ,operando en tu cuaderno, calcula el valor de ð en función de ß. ¿ Es contínua la función en el punto x = 6 ?.

Puedes estudiar la continuidad de la función en otro punto, variando el parámetro a de la escena.

Elige a = 5 y contesta las siguientes cuestiones:

15.- ¿ Qué valores de x cumplen que su imagen dista de f (5) menos de 2?.

16.- Para a = 5, ¿existe un ð para cada valor de ß ?, calcúlalo y escríbelo en tu cuaderno. ¿ Es contínua la función en el punto x = 5 ?.

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III.-Clasificación de discontinuidades.

Un punto x=a es un punto de discontinuidad de la función y = f (x), si la función no es contínua en dicho punto.

Una función es discontínua en un punto si ocurre cualquiera de los siguientes problemas:

1) Que la función no esté definida en el punto.

2) Que no tenga límite en el punto.

3) Que esté definida, tenga límite en el punto, pero que el valor de la función no coincida con el valor del límite.

Estas situaciones dan lugar a la siguiente clasificación de discontinuidades :

a) Discontinuidad evitable

Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y es finito, pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos hacerla contínua dándole a la función en el punto el valor del límite.

-Estudia la continuidad de la funciónen el punto x = 2 :

Los límites laterales coinciden y son finitos; por tanto existe el límite en x = 2 y es finito.

f (2) no existe; luego tiene una discontinuidad evitable en x = 2.

Evitamos la discontinuidad definiendo f (2) = 4

17.- Estudia la continuidad de la función en x = 1.

b) Discontinuidad de primera especie o de salto.

Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto. Existen los límites laterales en el punto, pero toman valores diferentes o infinito .

-Si en la siguiente escena eliges el parámetro a = 1, veras la función f (x) = sgn (x).

Vamos a estudiar su continuidad en el punto x = 0 :.

Los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe límite en x = 0.

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto 2 en x = 0. El salto 2 es la diferencia entre los dos límites laterales.

-Elige ahora en la escena el parámetro a = 2. Verás aparecer la función y = 1/x.

Estudiaremos su continuidad en el punto x = 0 :

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto infinito en x = 0

18.- Estudia la continuidad en x = 1 de la función :

 

19.-Estudia la continuidad de la función en x = 0

 

c) Discontinuidad de segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

-Estudia la continuidad de la función en el punto x = -5.

no existe, ya que la función no está definida para los x < -5.

La función tiene en x = -5 una discontinuidad de segunda especie.

20.- Estudia la continuidad de la función en el punto x = 1.