Curso: Primero de Bachillerato de la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud

Unidad didáctica: Los números complejos. Formas, representación y operaciones.


Observación: Las introducciones teóricas serán muy breves y deberás ampliarlas con tus apuntes o tu libro de texto.


1. Definición de número complejo

Llamaremos a la unidad imaginaria. Un número complejo se define como u=a+bi (forma binómica) donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. En su representación gráfica el extremo del vector se llama afijo del nº complejo.

1a. Asigna los valores adecuados a los parámetros de la escena para representar los números complejos 3+7i, -6+8i y 4-5i.

1b. Mueve con el ratón el afijo del vector para respresentar los números -2-2i, 4+4i y 6-5i


2. Suma de números complejos

Para la representación gráfica de esta operación utilizaremos la forma binómica.

2. Suma los complejos (3-5i)+(6+2i) , (6-i)+(-2+5i) y anota los resultados en tu cuaderno.

Observa que el complejo suma es (gráficamente) la diagonal del paralelogramo definido por los dos complejos (arrastra con el ratón los afijos de u y de v para comprobarlo)


3. Resta de números complejos

Para la representación gráfica de esta operación utilizaremos la forma binómica.

3. Resta los complejos (3-5i)-(6+2i) , (6-i)-(-2+5i) y anota los resultados en tu cuaderno.

Observa que ahora es el complejo u el que (gráficamente) es la diagonal del paralelogramo definido por los otros dos complejos (arrastra con el ratón los afijos de u y de v para comprobarlo)


4. Forma polar. Paso de binómica a polar

Dado un complejo en forma binómica u=a+bi definimos su módulo r como y su argumento como .La expresión r(arg) la llamaremos forma polar del número complejo u.

4. Pasa a forma polar los complejos -2-4i , -8+6i , 3+4i , 1-i , 1+i , 5 , 3i , -8i y anota los resultados en tu cuaderno.


5. Paso de polar a binómica

La parte real de un complejo u=r(arg) es a=r.cos(arg) y la parte imaginaria es b=r.sen(arg), con lo cual su forma binómica será u=r.cos(arg)+r.sen(arg)i.

5. Pasa a forma binómica los complejos 5(30º) , 3(180º) , 2(270º) , 3(200º) , 4(100º) y anota los resultados en tu cuaderno.


6. Producto y cociente de números complejos

Para la representación gráfica de estas operaciones utilizaremos la forma polar, para multiplicar dos números complejos (el cociente de complejos es muy similar).

6a. Dados los complejos u=5(30º) , v=3(200º) , w=-4(45º) realiza los productos u.v , u.w , v.w y anota los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el método para multiplicar complejos en forma polar.

6b. Utilizando las escenas números 4 , 5 y 6 anota en tu cuaderno los productos (5-3i)*(-2+4i) y (1+i)*(3-2i) dando los resultados en forma binómica.


7. Potenciación de números complejos

En la siguiente escena estudiaremos las potencias de exponente natural, de complejos dados en forma polar.

7a. Dados los complejos u=5(60º) y v=2(45º) calcula las potencias u^2 y v^4 y anota los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el método para realizar potencias de complejos en forma polar.

7b. Utilizando las escena números 4 , 5 y 7 anota en tu cuaderno las potencias (1+i)^7 y (5-3i)^3 dando los resultados en forma binómica.


8. Radicación de números complejos

En la siguiente escena estudiaremos las raíces cúbicas de un número complejo dado en forma polar.

8a. Dados los complejos u=27(150º) y v=8(45º) halla sus raices cúbicas y anota los resultados en tu cuaderno. Deduce cuál es el método para realizar raices cúbicas de complejos en forma polar.

8b. Utilizando las escena números 4 , 5 y 8 anota en tu cuaderno las raíces cúbicas de cada uno de los complejos 27 y 9+6i dando los resultados en forma binómica.


Autor: Rubén Soto de Roa Volver a Descartes