Configuraciones con tablas numéricas


"Todo es número"

Estrella Pitagórica
"... las artes mágicas cultivadas desde la más remota antigüedad, en todos los países, buscaban símbolos que adoptaban aspectos evocando figuras del tipo que calificamos de 'geométrico'.

Los símbolos intentaban expresar misterios del mundo circundante, traducían temores, materializaban presuntas potencias cósmicas detentadoras del bien y del mal, vestían fuerzas de origen desconocido ..."

"Fantasía y lógica en la matemática". Luigi Campedelli


Tabla de los números primos.

Son quizás los primos los números más singulares, no se someten a división por ningún otro número. Pero ellos descomponen de algún modo a cualquier otro:

Todo número par se descompone en suma de dos números primos. (18=5+13)

Y todo número impar en suma de tres primos. (15=3+5+7)

Así de fácil podemos obtener la lista de estos números que no se someten a fórmula. En marrón, sin tachar, los números primos menores que cien. 

Criba de Eratóstenes (recursiva a partir del 1): 

  1. En marrón el primero sin colorear.
  2. En naranja tachado todos sus múltiplos.
[Repetir el proceso]
Criba de Eratostenes
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Cuadrados mágicos.

"Los sabios antiguos distribuían los cuadros colocándolos en aquel orden en que si se los sumaba, en cualquier dirección, según estaban dispuestos en las casillas, siempre daban el mismo producto y la suma de todos ellos representaba también un misterio. Se llamaban sellos o misterios de los dioses, como decían, por el hecho de que bajo ellos se encontraba de forma maravillosa su dominio y potestad sobre todas las cosas."
"Aritmología. Historia real y esotérica de los números". Atanasius Kircher, (1601-1680)

Los siete Sellos:

Sarturno
Saturno
Júpiter
Júpiter
Marte
Marte
Sol
Sol
Venus
Venus
Mercurio
Mercurio
Luna
Luna

El sello de Júpiter presenta más sumas idénticas, en otras diagonales. Así es tomando las de dos casillas opuestas (14,9,3,8), las de tres casillas duplicada la central (5,7,7,15), las diagonales con las centrales cruzadas (4,6,11,13). También suman 34 los cuadros internos (4,14,9,7), (7,6,11,10). Las esquinas suman 34 (4,1,16,13). El interior de lados opuestos (9,5,12,8) ....

Este cuadro mágico se repite, invertido, en el cuadro de A. Durero, Melancolía. Los astrólogos de la época lo recomendaban como amuleto contra la melancolía.

El sello del Sol reúne por supuesto los números más esotéricos siendo su clave 6,36,111,666.¿...?.
 
Otro singular cuadrado mágico de orden nueve sería el siguiente:

Cada uno de los cuadros de orden tres también es mágico.

Si en lugar de cada uno de ellos colocamos su valor obtenemos otro con la misma configuración del sello de Saturno

Existen infinidad de configuraciones, pero a las más simples se les ha otorgado el valor de mágicas.

Diabólico

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Triángulo aritmético.

 
Conocido como triángulo de Pascal, o de Tartaglia, los primeros resultados con estas sumas de series finitas aparecen en el "Espejo precioso", en la cultura china (1303). 

Las diagonales representan los sucesivos números combinatorios. 

Si sumamos la serie finita hasta un número de cualquier fila obtenemos el que se encuentra debajo. 

Pero en el triángulo aritmético podemos observar seguramente innumerables series curiosas: 

Triángulo de Pascal

 
La tercera son las acumulaciones en triángulos de base 1, 2, 3, 4, ... (plano).
La cuarta las acumulaciones en pirámides triangulares de lado 1, 2, 3, 4, ... (espacio).
La primera sería, claro, en dimensión cero (punto), la segunda en dos (recta).
  • La suma de las diagonales (escaleras de longitud uno) serán las potencias de 2.
  • La suma en las escaleras de longitud dos, diagonales suaves, (amarilla, verde, azul, roja, ...) nos da una serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (21=8+13), de seguir el triángulo indefinidamente.
Y así habríamos llegado a la sección de oro. Recordemos que la razón de dos números consecutivos de cualquier serie de Fibonacci se aproxima a la sección de oro. Igual que una serie de valores en razón áurea (el pentágono estrellado) cumplen la norma de construcción de Fibonacci. 
Series en el triángulo

También las configuraciones geométricas tienen relevancia.
 

Múltiplos de dos Múltiplos de tres Múltiplos de cinco Múltiplos de siete

Configuraciones en el triángulo aritmético de los múltiplos de los números primos (2, 3, 5, 7). En color claro los múltiplos de 2, 3, 5, 7 respectivamente.

En el primero aparece una serie de triángulos centrales. En el número de términos que estos ocupan podemos encontrar los números perfectos asociados a los números primos.

Semejantes configuraciones se repiten para cualquier orden de tabla y múltiplo.

.... Y así podríamos seguir buscando ¿casualidades?.
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Triángulo armónico.

Entre los números enteros (como los primos) y los inconmensurables (como el número de oro), se encuentran los racionales.

El triángulo armónico quizás sea menos prolijo en propiedades que el aritmético pero más "profundo".
 
Baste decir que invertimos los términos (cada diagonal de orden n resulta de invertir los términos de la correspondiente diagonal aritmética y dividir entre n)
  • Las propiedades no se basan en sumas finitas sino en sumas infinitas
  • Cada término no se obtiene de sumar los lados que le preceden sino los que le suceden, procediendo en suma no del 1 inicial sino del 0 final, al que tienden todas las sucesiones.

  •  
  • Cada término es suma "infinita" de todos los términos en la fila inferior hacia la derecha.

  •  
  • Salvo la serie de la primera fila, divergente, el resto (fila n) tiene por suma 1/(n-1).
Triángulo armónico

Si el triángulo aritmético se lo atribuimos a Pascal, éste sería para Leibnitz, amante de las series infinitas.

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Bibliografía

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Las conexiones a biografías corresponden a MacTutor History of Mathematics Archive de la School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews
©Jorge Las Heras, 30 de Mayo de 1998.