Trazado de polígonos regulares.

Método empírico.

Sin embargo se conocen procedimientos empíricos que nos permiten construir de forma generalizada polígonos de N lados para N=3, 4, 5, 6, ... y con una sencillez y aproximación interesante.

Este procedimiento se muestra exacto para N=2, 3, 4 y 6, y muy aproximado para N= 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12 con un error relativo al radio del orden de milésimas.

Observar, por ejemplo, el caso más desfavorable, para N=12, colocando la escala en 1000 y los ejes desplazados a OX=560 y OY=800. Haciendo clic en el vértice del polígono V(-0.500, 0.866) y en el punto de corte D(-0.507,0.861), se puede calcular una distancia aproximada de 8 milésimas.

Geométricamente, se comprueba la exactitud de este procedimiento para N = 3 ò 6.

1. Sea ADE el triángulo inscrito en la circunferencia y ABC el triángulo definido por la construcción de C.

2. Observando el ángulo en B: El punto medio de BC, E, determina un vértice del triángulo, pues BE=radio es el lado del exágono inscrito.

3. AE es una altura de ABC; luego OC=2·DM.

4. Trazando CD se define el punto P. Los triángulos POC y PMD son semejantes.

5. Como OBE es equilátero, OM=1/2·OB, luego OP=1/3·OB y por tanto AP=2/3·AB.

Luego la recta de la construcción que pasa por C y P (segunda división) coincide con la recta que pasa por C y D (vértice del triángulo). Al cortar en la circunferencia ambas construcciones, coincide D como vértice y como intersección de recta y circunferencia.

Podemos demostrar la precisión de este procedimiento construido sobre una circunferencia de radio unidad.

Vamos a determinar las coordenadas del vértice (valor real) y del punto de corte con la circunferencia (valor aproximado) en función de los parámetros n=número de lados y c=abscisa del punto C.

* Coordenadas del primer vértice, V, del polígono regular de n lados:

V(-sen(2·PI/n),cos(2·PI/n))

* Coordenadas del punto de corte , D, de la recta que pasa por C y la segunda división del diámetro, con la circunferencia:

Este punto responde al sistema de ecuaciones de la recta y circunferencia

cuya solución con abscisa negativa nos da el punto D(x, y)

* Distancia u error de la construcción.

Si calculamos la distancia entre estos dos puntos, D y V, para el valor de c correspondiente a nuestra construcción, raíz de 3, obtenemos la siguiente tabla según el número de lados del polígono:

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d(D,V)

0 0 0.00072 0 0.0015 0.0032 0.0048 0.0062 0.0073 0.0082

Vemos que, para esta construcción el procedimiento es exacto para n=3, 4, 6 y muy aproximado en el resto, como comprobamos experimentalmente en la escena anterior.

* Valores óptimos de c para los distintos polígonos.

Si optimizamos la distancia para valores fijos de n encontraríamos los siguientes valores de c:

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
c 1.732   1.744 1.732 1.719 1.707 1.696 1.687 1.679 1.672

También vemos que esta construcción, con c=1.732 (raíz de 3), es óptima para n=3, 4, 6 y próxima a la óptima para el resto.

Tanto analítica como empíricamente, observamos que la construcción es más que aceptable, con un valor añadido de generalización y sencillez frente a otros procedimientos como el analítico o geométrico alternativos que, en última instancia, adolecen además del problema de la imprecisión del dibujo y la medida.

Construcción sobre circunferencia.
Método deductivo.
Método empírico.
Construcción sobre lado.
Ejemplo de construcción sobre un lado.