ECUACIOINES DIFERNCIALES.ESQUEMA RESUMEN

 

 

1.CONCEPTOS  PRELIMINARES.

 

Ecuación diferencial:Una ecuación que contiene una función desconoicida y sus derivadasx respecto a una variable  independiente.

Ej. (1)

 

Ecuación difercial ordinaria:Si la función desconocida depende de  una sola variable independiente.

 

Ej.y´´+senxy´+5xy=0 (2)

 

Ecuación diferencial parcial:Si la función desconocida depende de dos o más variables independientes.

 

Ej. (3)

 

La función desconocida y depende de las variables independientes t y x.

 

2.CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERNCIALES ORDINARIAS.

 

Para clasificar una E.D.O tenemos que tener en cuenta:

 

1.Orden:Es la mayor derivada que aparece en la ecuación.

 

Ej.La E.D (2 ) es de  segundo orden.

 

2.Grado:Es la potencia a la que está elevada la derivada dce mayor orden siempre que la E.D se pueda escribir como  un polinomio en la función desconocida y sus derivadas.

 

Ej.(y´´)2-y´=0   tiene segundo grado; eyy´´+2()2=1 no tiene grado debida al término ey.

 

3.Linealidad:Si se puede escribir como un polinomio en la funcción desconocida y sus derivadas y el grado de todos los términos es uno.

 

Ej.2xy´´-

 

3.TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

 

A.ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Y LINEALES.

 

A1 VARIABLES SEPARADAS.

P(x)dx+Q(y)dy=0

P(y)dx+Q(x)dy=0

 
 

 

 


 

®Agrupar las variables e integrar.

 

A2 HOMOGENEAS.

 

Y´=f(x,y)

 
 

 

 


® f(x,y ) debe ser homogenea de grado cero en el sentido de Euler.

®Hacer: y=u.x

 

A3. REDUCIBLES A HOMOGENEAS.

 

 

y´=f

 
 

 

 

 

 


®Si ax+by+c  y mx+ny+p se cortan en A(r,s) hacemos el cambio:

 

                                                 x-r=X

                                                 y-s=Y

®Si ax+by+c y mx+ny+p son paralelas $ k tal que k(mx+ny)+c.

 

®Hacemos el cambio:       Y=mx+ny

 

A4.ECUACION DIFERNCIAL EXACTA.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;

 
 

 

 

 

 


®Se trata de determinar g(x,y)=C tal que :(a)

®Si integramos la primera de las ecuaciones tendríamos una función g(x,y)=F(x,y)+h(y).

 

®Para determinar h(y) aplicamos la segunda condición de (a).

 

 

A5 ECUACION DIFERENCIAL REDUCIBLE A ECUACION DIFERNCIAL EXACTA.

 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

; $ I(x,y) que al multiplicarlo por la E.D la convierte en E.D.Exacta.

 
 

 

 

 

 

 


®I(x,y) se llama factor de integración.

 

®Principales factores de integración:

 

a)      Si ÞI=

b)        Si

c)         Si M=yf(x,y) y N=xg(x,y)

 

A7.ECUACION DIFERNCIAL LINEAL.

 

y´+X(x)y=F(x)

 
 

 

 

 


®La solución es:y=

 

A8.ECUACION DIFERNCIAL DE BERNOUILLI.

 

y´+X(x)y=F(x)yn, n¹0

 
 

 

 

 

 


®Cambio:y1-n=u(con este cambio se transforma en E.D.L).

 

B.ECUACION DIFERNCIAL DE PRIMER ORDEN NO LINEAL EN Y´.

 

B1 RESOLUBLES EN .

 

 

 

 

ao(x,y)n+a1(x,y)()n-1+…………………………+an(x,y)=0

 
 

 

 

 

 


®1.Despejar .

®2.Integrar las ecuaciones obtenidas.

®3.La solución general es el producto de las obtenidas en el apartado2.

 

B2. RESOLUBLES EN X.

 

1.x=f(y,y´)

 

2.Hacer:y´=p

 

y´´ =

 

3.Resolver la E.D de función p y variable independiente y.

 


y=F(p,C)

x=f(y,p)          Eliminanndo p si es posible tenemos:f(x,y,C)=0(Solución general).

 

 

B3.RESOLUBLES EN Y.

 

1.y=f(x,y´)

 

2.Derivar  la ecuación diferncial dada.

 

3.Hacer: y´=p

 

4.Integrar la E.D.

 

F(x,p,C)=0

y=f(x,p)           Eliminar p si es posible para obtener f(x,y,C)=0

 

B4.ECUACION DE LAGRANGE.

 

Son de primer grado en x e y  pero no en .

 

y=xf()+g(); f()¹

 
 

 

 

 


1.Derivamos la E.D

 

2.Obtenemos si hacemos el cambio:y´=p

 

p=f(p)+xf´(p)p´+g´(p)p´=f(p)+(xf´(p)+(p))

 

3.Integramos la E.D obtenida en el paso anterior tomando x como función de p.

 

4.Obtenemos:

 

x=F(p,C)

y=xf(p)+g(p)     Solución general de la E.D en forma paramétrica.

 

*Esta E.D puede tener  también soluciones singulares.

 

B5.ECUACION DIFERNCIAL DE CLAIRAUT.

 

y=xy´+g()

 
 

 

 


®Solución general:y=Cx+g( C )

 

*Puede tener soluciones singulares.

 

C. ECUACIONES DIFERNCIALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO.

 

C1.ECUACIONES  DIFERENCIALES  CARENTES DE TERMINOS EN Y.

 

F(x,y´,y´´,y´´´,….,yn))=0

 
 

 

 

 


1.Hacemos:y´=p

 

2.Se integra la E.D tomando p función de x.

 

C2.ECUACIONES SIN TERMINO EN X.

F(y,y´,y´´,…..,yn)=0

 
 

 

 


1.Hacemos:y´=p

 

2.Tomar p función de y.

 

y´´=

 

3.Integrar la ecuación resultante.

 

C3 ECUACIONES CARENTES DE X E Y.

F(y´,y´´,……,yn))=0

 
 

 

 


1.Hacer:y´=p

 

2.Integrar la ecuación resultante.

 

C4.ECUACIONES DEL TIPO YN)=f(YN-2))

 

1.Hacer:z=yn-2)

 

2.Tenemos:z´´=f(z)Þz´´z´dx=f(z)z´dx=f(z)dz

 

3.

 

4.Dehacer el cambio e integrar la ecuación resultante.

 

D.ECUACIONES DIFERNCIALES LINEALES DE ORDEN N Y COEFICIENTES CONSTANTES.

 

aoyn)+a1yn-1)+…………………..+any=f(x)    (0)

 
 

 

 

 


Metodología:

 

1.Tomar el primer miembro 8ecuación incompleta u homogénea) y se obtiene una solución  según la naturaleza de la ecuación característica.

La ecuación caracteística se obtiene de (0) así:aorn+a1rn-1+………….+a0=0

 

2.Si f(x)¹0 se halla una solución particular de la ecuación completa que se suma a la anterior y el resultado es la integral  general de la ecuación.

 

Vamos a desarrollar el punto1 distinguiendo los siguientes casos:

 

a)Si las raíces de la ecuación característica son  reales y distintas,r1,r2,…..,rn la solución de la ecuación homogenea será:

 


y

 


b)Si la ecuación  característica(e.c) tiene  raíces reales múltiples.Se multiplica cada término de la solución anterior  por un polinomio que tenga tantas constantes arbitrarias  como orden de multiplicidad de la raiz.

 

Si p(r)=(r-a)2(r-b)3(r-c).

 

 
 

 

 


c)Si la ecuación característica tiene raíces imaginarias simples.

r=a±bi

 

 
 

 

 

 


d)Si la ecuación característica tiene raíces imaginarias múltiples con r=(a±bi)2

El  polinomio qu emultiplica al coseno  y al seno tiene que tener tantas constantes arbitrarias como el  orden de multiplicidad d e la raíz.

 

 
 

 

 


2.Para determinar una solución particular de la completa observamos la naturaleza de f(x) en (0).

Se nos pueden dar los siguientes casos:

 

a)Si f(x) es de tipo exponencial.Así:f(x)=aebx

 

Probamos la solución de la completa: y=mebx

 

1.Sustituimos la solución anterior en (0)

 

2.Por identificación determinamos m.

 

 

*Si b es una raíz de p(r ) de orden de multiplicidad  n¹1 probamos  y=mxnebx

 

b)Si f(x) es de tipo trigonométrico teniendo en cuenta que (im ) e (in ) no son raíces de p( r ).

y=Acosmx+Bsenmx+Ccosnx+Dsennx

 
 


Probamos:

 

 

*Si alguna o ambas  son raíces (im,in) se multiplica dicha solución por xn, siendo n el orden de multiplicidad  de la raíz.

 

Ej.Si (ni) es raíz doble de p(r) probamos:

y=Acosmx+Bsenmx+Cx2senmx+Dx2cosnx

 
 


 

 

 

Esta solución se lleva a (0) y por identificación se determinan las  constantes arbitrarias A,B,C,D.

 

c)Si f(x) es de tipo polinómico.Así:f(x)=b1xm+b2xm-1+………..+bm

 

Casos qu ese nos pueden dar:

 

1.Si existe any en (0).

 

Se prueba la solución y=C1xm+C2xm-1+…….+Cm

Se sustituye en (0) y por identificación de constantes determinamos las contantes arbitrarias

C1,C2,……,Cm.

 

2.Si no existe any , pero si  existe an-1y´.

 

Probamos la solución y=C1xm+1+C2xm+……….+Cm+1.

Las constantes arbitrarias se determinan com o en el caso anterior.

 

d)Si f(x)  es suma de varios tipos anteriores  se consideran por separado las distintas clases y se suman las soluciones a que den lugar.

 

 

E.ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N Y COEFICIENTES VARIABLES.

 

 
 

 

 

 

 


E1.ECUACIONES DE EULER.

 

Son aquellas en las que ai(x) son potencias de x o de (bx+c) , que van decreciendo al mismo tiempo  que el orden de la función que acompañan.

 

Ej.3x3y´´´+x2y´´ -5xy´+y=0; x5y´´´+x3y´-x2y=f(x)

 

Metodología:

 

1.Hacer el cambio:x=et

 

2.Aplícar el cambio a  las derivadas que aparecen así:

 

 

 

3.Integrar la E.D resultante que será de coeficientes constantes.

 

4.La solución obtenida en el apartado anterior será:y=C1eat+C2ebt+……….

 

5.Deshacer el cambio para dar la solución en función de x.

 

y=C1eaLx+C2ebLx+……….

 

E2.ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES  POR CAMBIO DE VARIABLE.

 

P(x)y´´ +Q(x)y´+Cy=f(x)  ó R(x)y´´+S(x)y´+T(x)y=f(x)

Si Q(x)=K

 
 

 

 

 

1.Hacer el cambio:

 

2.Las derivadas y´,y´´ debemos convertirlas en las correspondientes referidas a t.

 

 

 

E3.INTEGRACION POR CAMBIO DE FUNCION.

 

Ecuación con coeficientes variables que no pertenece a ninguno de los tipos anteriores.

 

1.Hacer el cambio: y=uz , u

 

2.Integrar la ecuación resultante después de hacer el cambio.

 

3.Deshacer el cambio.

 

*Podemos prescindir de los factores de la forma keax para facilitar los cálculos.

 

 

 

 

 

E4.ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES  DE LAS QUE CONOCEMOS UNA SOLUCIÓN  O LA RELACION ENTRE DOS DE ELLAS.

 

Aplicamos la fórmula de Liouville

 

a)Si conocemos una solución de la ecuación diferencial y1.

 


W=

 

 


K=Constante arbitraria.

 

®y1 es la solución conocida.Se sustituye su valor en el Wronskiano y lo desarrollamos obteniendo una ecuación lineal en .

 

b)Si conocemos la relación entre las integrales de la ecuación y2=f(y1).Llamamos y1=y e y2=f(y)

y sustituimos en el Wronskiano de la forma siguiente:

 

 
 

 

 

 

 


®Desarrollando tenemos una E.D lineal en .

 

OBSERVACIONES.

 

1.El alumno tendrá que saber identificar y clasificar una ecuación diferencial dada  previamente.Posteriormente deberá resolverla  aplicando la Metodología explicada anteriormente  después de haber realizado ejercicios de los distintos tipos de ecuaciones difernciales.

 

2.Observe la Metodología de trabajo al ir aplicandola a los ejercicios prácticos.

 

3.Es necesario para dominar las E.D una vez entendida la teoría , saber aplicarla  a los distintos tipos  de ecuaciones diferenciales cuando ésta no está  en la forma que aparece en el modelo  de la teoría(está disfrazada) y tenemnos que adaptarla al modelo.

 

4.El alumno(a)   tiene un nivel aceptable cuando explicados todos los tipos y hechos ejercicios de estos es capaz de identificar , clasificar y resolver una E.D dada  sin saber de entrada de que tipo es.

 

5.El profesor explicará todos los pasos  en los distintos tipos de E.D  y hará ejercicios modelo  de cada tipo.

 

6.El profesor propondrá suficiente número de problemas con solución para que sirvan de ayuda  de ayuda al alumno.

 

7.El profesor  corregirá  y aclarará  las dudas  que surjan  en la preparación  de la materia.

 

8.Se propondrá una prueba  antes de la fecha del examen parcial, de junio o de septiembre  para constatar el nivel de los distintos alumnos ,  así como para corregir y aclara  los conceptos que no estén claros.

 

9.El profesor animará  y motivará al alumno(a)  en todo  momento.

 

10.Espero que las orientaciones metodológicas le sirvan  de mucha  ayuda en esta materia  tan difícil de asimilar  y de entender sin una buenas explicaciones.¡Animo!, sigamos trabajando.

 

 

 

 

                                                           EL PROFESOR  GARCIA 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                         Fdo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COMPLEMENTO DE  ECUACIONES DIFERNCIALES.METODOLOGIA.

 

1.SOLUCIONES SINGULARES.

 

DEFINICION:Son las envolventes del haz integral.

 

METODOS PARA HALLAR LAS SOLUCIONES SINGULARES:

 

1.El primer método consta de los siguientes pasos:

®Obtener la solución general de la familia de curvas:F(x,y,C)=0

 

®Determinar la derivada de la ecuación anterior respecto a la constante C .C=0

 

®Eliminar C en las ecuaciones:

 


F(x,y,C)=0

        C=0    El resultado de eliminar C  entre ambas ecuaciones es la solución singular.

 

 

2.Segundo método:

 

®Los factores que simplifiquen la E.D dada, y si son función de p o de se resuelven  igualando a cero y obtenemos f(x,y,C)=0

 

®Determinar la constante de C de f(x,y,C)=0 sustituyendo esta solución en la E.D dada y despejando los valores de C.

 

*Si al despejar C no existen valores reales tampoco existirían solucioines singulares.

 

2.TRAYECTORIAS ORTOGONALES E ISOGONALES.

 

®Consideramos un haz de curvas f(x,y,C)=0 (1)

 

®Las línes que cortan a todas las curvas del haz dado (1) bajo un ángulo constante se llaman trayectorias isogonales.Si éste ángulo es recto las curvas se llaman trayectorias ortogonales.

 

A.TRAYECTORIAS ORTOGONALES.

 

Para hallar las trayetorias ortogonales seguimos la siguiente metodoloía:

 

1.Sustituimos en la E.D dada la pendiente  por .

 

2.Integramos la E.D  resultante del paso anterior.

 

*Si no nos dan la E.D de la familia de curvas  y sólo nos dan la familia de curvas debemos determinar la E.D  correspondiente eliminando C entre :

 


f(x,y,C)=0

 

    De este  sistema obtenemos F(x,y,=0.En esta última ecuación  hacemos la sustitución de  por .

 

EJEMPLO:Hallar las trayectorias ortogonales del haz de parábolas y=Cx2.

 

R.Derivamos la ecuación dada respecto a x:y´=C2x

 

Eliminamos C entre esta última ecuación y la ecuación del haz de parábolas.

 

y´=

®Sustituimos en la E.D anterior y´por  obteniendo la E.D del haz de trayectorias ortogonales.

 

Por tanto las trayectorias ortogonales al haz de parábolas es el haz de elipses obtenido.

 

B.TRAYECTORIAS ISOGONALES.

Y

                                                         Curvas del haz

                                                               Curvas isogonales.

                                  P

 

 

 


                                                            X

Sea a el ángulo que forman las tangentes  a las curvas en P.

Seaj el ángulo que forma tangente a la  familia de curvas dadas con el eje OX.

SeaY el ángulo que forma la tangente a las trayectotias isogonales con el eje OX.

 

Sabemos de primero de carrera que:j+a=YÞj=Y-a;  y Siendo tgj la tangente  a las curvas del haz y tgY la tangente  a las trayectorias isogonales.

 

La relación entre estas es:

 

®Introducir esta expresión en la E.D  F(x,y, y quitando el subíndidice t , obtenemos la E.D de las trayectorias isogonales.

 

®Integrando la E.D anterior obtenemos la familia de trayectorias isogonales.

Ejercicio:Hallar las trayectorias isogonales del haz de rectas y=Cx que cortan a las línes del haz bajo un ángulo de 30º.Sol:Espiral logarítmica.

 

 

TRANSFORMADAS DE LAPLACE.METODOLOGIA.

 

1.INTRODUCCION.

 

Debemos recordar de primero de carrera las integrales impropias.

Si g(x) está definida para a£x<¥ , donde a es una constante , entonces la integral impropia está definida por:.Cuando existe el límite se dice que la integral impropia es convergente, de otro modo , la integral impropia es divergente.

 

2.TRANFORMAD DE LAPLACE.

 

Sea f(x) definida "xÎ a 0£x<¥ y sea s una variable real arbitraria.La   transformad de Laplace de f(x) expresada por L(f(x)) o  bien por F(s) es:

 

L(f(x))=F(s)=

 
 

 

 

 


Paratodos los valores de s para los cuales la integral impropia es convergente.

 

·Una función f(x) es de orden exponencial a  si existe una constante a ,M y xo tales que :

 

 
 

 

 

 


3.PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

 

1.Si f(x) es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado 0£x£b , b>0 y si f(x) es de orden exponencial  a  entonces la transformad de Laplace para f(x) existe para s>a.Decimos que f(x)ÎEa

 

2.Propiedad de la linealidad..

L(af(x)+bg(x))=a L(f(x))+bL(g(x)); a  y bÎÂ

 
 


Si  f(x) y g(x)ÎEaÞ

 

 

3.Transformada  de exponencial por función.

L(eaxf(x))=F(s-a) (s>a+a)

 
 


Si f(x)ÎEa y aÎÂÞ

 

4.Transformada de un monomio  del tipo xn por una función.

L(xnf(x))=(-1)n

 
 


Si nÎZ+ y f(x)ÎEa Þ

 

5.Transformada de una función dividia por x.

L(

 
 


Si f(x)ÎEa y $

 

6.Transformada de una integral.

 
 


Si f(x)ÎEaÞ

 

 

7.Transformada de una función periódica.

 
 

 


Si  f(x+T)=f(x); T=periodo de la funciónÞ

 

 

8.Transformada de Laplace de  una función de salto.

 

 
 ; L(F(t))=f(s)Þ

9.Transformada de una integral iterada.

 
 


Si L(F(u))=f(s)Þ

 

 

 

10.Transformada de una convolución de funciones.

L

 
 


L(F(u)=f(s) y L(G(u))=g(s)Þ

 

 

Notas:Si f(x) y g(x)ÎEa entonces se define la convolución de f(x) y g(x) como:

f(x)*g(x)=

 
 


             

 

 

 

 

®propiedades de las convoluciones:

 

1.Conmutativa: f(x)*g(x)=g(x)*f(x)

 

2.Transformada inversa de un producto de transformadas es igual  a la convolución dce las funciones de las que son transformadas.

 

 
 

 

 

 

11.Transformada de la función de paso unitario y su transformada.

 

 

; "cÎÂ se verifica:

 

 

                                          X                                     c                  X

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 


®Dada la función f(x), "x³0, definimos la función:

L(

 
Si f(x)ÎEa  y F(s)=L(f(x))Þ

 

 

 

 

A la inversa:L-1(

 

12.Transformada  de Laplace de las derivadas.

L

 
 


 

 

 

 

4.RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERNCIALES APLICANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

 

METODOLOGIÁ:

 

1.Se toma transformadas de Laplace a ambos lados de E.D dada obteniendo  una ecuación algebraica que contiene Y(s).

 

2.Despejar en la ecuaciónanterior Y(s).

 

3.Tomar la transformad inversa de Laplace para obtener y(x)=L-1(Y(s)).

 

*Si las constantes iniciales no se dan para x=0 se trabaja con constantes arbitrarias que luego se determinan a partir de las condiciones dadas.