Matemáticas de la Forma
Optativa del Bachillerato de Artes

Estructura y contenidos

por Javier Brihuega


ÍNDICE




INTRODUCCIÓN

Las Matemáticas de la Forma es una materia optativa de la modalidad de Artes del Bachillerato y, en este sentido, proporciona un espacio idóneo para introducir a los alumnos y alumnas en los aspectos matemáticos de la creación artística.

El conocimiento de los elementos matemáticos presentes en las formas y proporciones no solamente permite su comprensión, sino también su utilización en diversos aspectos del arte --por ejemplo, el estudio de la perspectiva conlleva un análisis de los objetos, respecto a su tamaño y su forma, imprescindible para su representación plástica. También se puede observar este análisis y sus aspectos matemáticos en obras concretas, así por ejemplo, en el modelo de hombre de Leonardo da Vinci la distancia desde el ombligo a los pies esta en proporción áurea con la altura del cuerpo humano, y Le Corbusier también utilizó esta proporción en sus construcciones y proyectos arquitectónicos--. La forma y el tamaño, su análisis, interpretación y manipulación, no es el único componente del planteamiento artístico, pero si es una de las bases de su estructura.

Desde la antigüedad, el ser humano ha observado las formas geométricas en la naturaleza y las ha utilizado en sus representaciones artísticas, de tal manera que los elementos geométricos los encontramos en multitud de formas creadas por él --decoraciones de vasijas, frisos, construcciones arquitectónicas, etc.--. Desde las pinturas rupestres, los adornos espirales en la cerámica primitiva o en la decoración del palacio de Knosos, hasta las expresiones artísticas más modernas, los hombres y las mujeres han estado interesados por el análisis y representación de las formas, así como por su proporción.

En este sentido, tanto en la antigüedad como en la actualidad, las formas geométricas han servido de base en manifestaciones artísticas de diferente naturaleza como puede observarse en expresiones arquitectónicas --como las pirámides egipcias en la antigüedad o los edificios de la Defense (París) en la actualidad--, escultóricas --como las estatuas votivas prehistóricas o el monumento a la constitución (Madrid)--, pictóricas --como las pinturas rupestres de El Castillo en Puente Viesgo (Cantabria) o las obras de Kandinsky-- o simplemente decorativas --como las cerámicas griegas o el diseño de joyas--.

En coherencia con lo anterior se puede afirmar que el medio artístico requiere un cierto grado de conocimiento y destreza en el manejo de los elementos y propiedades matemáticas de las formas y los tamaños y, en el contexto de la modalidad de Artes del Bachillerato, es conveniente la existencia de un espacio para que estos elementos y propiedades puedan ser estudiados. Este espacio es el que cubre la materia Matemáticas de la Forma.

En la Educación Secundaria Obligatoria los estudiantes han realizado un estudio, desde un punto de vista fundamentalmente práctico, de las componentes geométricas más elementales para la organización del espacio. Este desarrollo del conocimiento geométrico ha estado basado en el estudio y descripción de la realidad que les rodea --el mundo físico, la publicidad, el arte, las propias configuraciones matemáticas--. Paralelamente, han desarrollado capacidades básicas --como la abstracción y el razonamiento inductivo-- y procedimientos y estrategias de carácter general que permiten un conocimiento más completo del mundo geométrico. Los estudiantes han construido polígonos y poliedros con materiales diversos --varillas de mecano, libro de espejos, tamgrans, etc.--, han trabajado sus clasificaciones y han utilizado algunas propiedades geométricas de los polígonos para su estudio y construcción. También deben de haber manejado, ya con cierta soltura, los instrumentos de dibujo y pueden calcular, por diversos medios, la medida de ángulos, áreas y perímetros.

Este desarrollo cognitivo que, en términos generales, deben haber alcanzado los estudiantes de Bachillerato, va a permitir que en esta etapa estén en disposición de aplicar sus conocimientos geométricos al mundo artístico, desde un punto de vista instrumental y de fundamentación de la componente matemática del arte.

Una de las características fundamentales de esta materia se deriva del lugar que ocupa en la modalidad de Artes del Bachillerato. Las Matemáticas de la Forma es una materia optativa propia de modalidad y en este sentido tiene un marcado carácter de apoyo en la construcción, análisis e interpretación de las formas artísticas. Es por tanto aconsejable partir siempre de situaciones concretas y contextualizadas que pongan de relieve los aspectos matemáticos de la creación artística con la finalidad de entenderla mejor y poder utilizarlos con este fin.

Por otro lado su carácter de materia optativa va a permitir al profesorado adaptar el desarrollo de los contenidos a las necesidades y expectativas de los alumnos y alumnas que la cursen, pues al no estar incluida en las Pruebas de Acceso a la Universidad permite un tratamiento más flexible de los contenidos pudiendo poner el énfasis en aquellas facetas del aprendizaje más próximas a las necesidades de los estudiantes que la cursan en cada centro.

De todo lo anteriormente expuesto se desprende que la materia de Matemáticas de la Forma, dentro de la modalidad de Artes del Bachillerato, tiene un doble papel que cumplir:

En su papel instrumental ha de proporcionar una serie de técnicas y estrategias básicas, para su aplicación en otras materias de esta modalidad. Es precisamente su carácter de materia aplicada al análisis y creación de las formas en el arte, el que le confiere este papel. Los contenidos matemáticos y su desarrollo y estudio deben estar siempre en función de su aplicabilidad en el mundo artístico.

En su papel formativo, el valor intrínseco de la formación aportada por las matemáticas y en concreto la geometría --desarrollo de las capacidades de razonamiento abstracto, de enfrentarse y resolver problemas del mundo artístico, de modelizar situaciones, etc.-- es una parte fundamental de su aprendizaje que no debe nunca olvidarse en esta modalidad de Bachillerato. La materia Matemáticas de la Forma, debe proporcionar los conocimientos x destrezas cognitivas, de carácter geométrico, necesarias para desenvolverse en el mundo del arte, que utiliza, cada vez en mayor medida, conceptos y procedimientos matemáticos.

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ORGANIZACIÓN Y SECUENCIA DE LOS CONTENIDOS

Los bloques de contenidos

La importancia de las matemáticas, y en concreto de la geometría, en este contexto de la modalidad de Artes del Bachillerato, se debe a su utilidad para el estudio y manejo de las formas y, en este sentido, el tratamiento geométrico de la proporcionalidad; el concepto, estimación y cálculo de la medida de longitudes, superficies y volúmenes; el estudio de los movimientos de las formas geométricas y su integración en el análisis y creación de teselas, frisos y mosaicos; el estudio y análisis de los poliedros regulares y semiregulares y sus secciones; así como el análisis y construcción de curvas --círculos, cónicas, espirales, hélices, etc.-- y superficies constituyen los aspectos fundamentales en los que se basará el desarrollo de esta materia

Los Contenidos que tiene esta materia, están estructurados en torno a cuatro bloques de contenidos:

Elementos y movimientos en el plano

Con los contenidos incluidos en este bloque se pretende que los alumnos y alumnas dispongan de una visión dinámica de la geometría plana que les permita crear y analizar formas planas presentes en el mundo artístico. Uno de los elementos artísticos más utilizados desde la antigüedad son los frisos y los mosaicos, en ellos se combinan elementos geométricos del plano interesantes para el estudio de las formas planas y sus movimientos. Las isometrías en el plano son los movimientos más sencillos y, junto a las teselaciones, pueden dar lugar a un campo de estudio interesante y productivo desde una perspectiva de resolución de problemas.

Desde los mosaicos árabes, a los dibujos de Escher, nos encontramos con representaciones artísticas, admiradas por todos, cuyo análisis, desde un punto de vista dinámico, permite el estudio de las formas geométricas elementales --triángulos, paralelogramos, hexágonos, etc.-- y de las isometrías de figuras planas. El estudio de las isometrías de figuras planas y su integración en el análisis y creación de teselas, frisos y mosaicos, permite que los estudiantes se aproximen a la adquisición del concepto de semejanza, enriqueciendo las estructuras conceptuales sobre el plano y desarrollando la habilidad para percibir las formas y sus combinaciones --que es una de las bases para poder analizar las construcciones geométricas en la naturaleza y en el arte--, además permite que estos desarrollen capacidades importantes, recogidas en los objetivos de esta materia --como la de visión espacial--.

Elementos y movimientos en el espacio

Con los contenidos incluidos en este bloque se pretende que los alumnos y alumnas dispongan de una visión dinámica de la geometría espacial, como en el caso del bloque anterior con la geometría del plano, que les permita utilizarla en la creación y análisis de formas espaciales del mundo artístico.

El estudio de esculturas y representaciones arquitectónicas en la historia de la humanidad, así como de elementos geométricos presentes en la naturaleza, es una fuente de problemas y actividades que tiene que estar presente en el desarrollo de los contenidos de este bloque. Las Isometrías en el espacio son difíciles de visualizar, por lo que puede ser interesante contar con los medios audiovisuales e informáticos para el desarrollo de estos contenidos.

Curvas y superficies

Con este bloque se pretende conseguir una idea más dinámica que estática de las curvas y las superficies. Así el estudio de la circunferencia, el circulo, las espirales y las cónicas, estas últimas como lugares geométricos y envolventes de rectas, permite tener una visión más completa de dichas curvas, permitiendo, posteriormente, el estudio de otras más complicadas como la astroide, la cardioide o la cicloide. El estudio de superficies se debe limitar al de algunas superficies sencillas, como la esférica y las superficies regladas. Por último, los contenidos relativos a curvas fractales deben limitarse a una introducción geométrica a partir de procesos de iteración.

Con los contenidos de este bloque no se pretende realizar un estudio analítico de curvas y superficies, sino analizar las principales propiedades de las mismas desde un punto de vista sintético y visual relacionandolas con formas de la naturaleza y manifestaciones artísticas --diseño, pintura, arquitectura, etc.--. El proceso de análisis y construcción, así como su utilización en la creación de formas artísticas y en situaciones de resolución de problemas, permite que el estudio de estos contenidos contribuya al desarrollo de las capacidades expresadas en los objetivos de esta materia --entre otros Valorar el uso del lenguaje geométrico aplicandolo a la comunicación artística y al diseño, Reconocer formas y realizar conjeturas sobre sus propiedades, Aplicar el conocimiento matemático a la explicación de los quehaceres artísticos, apreciando las cualidades estéticas y creativas de las formas, etc.--

Proporciones y medidas

Con los contenidos de este bloque se pretende completar el estudio de las proporciones, iniciado en la etapa anterior, y su utilización para el análisis y creación de manifestaciones artísticas.

Tan importante como los objetos en si mismos son las relaciones que se establecen entre ellos. A este respecto, la medida y la proporción son dos conceptos que parece necesario abordar en esta modalidad de Bachillerato. El análisis de proporciones notables --como la proporción áurea-- en representaciones artísticas y en la naturaleza, las relaciones entre perímetros, áreas y volúmenes y las proporciones antropomórficas, son fundamentales en el estudio de las manifestaciones del arte a través de la historia y son referencias básicas en el momento de la creación artística.

La importancia de los contenidos incluidos en este bloque radica, por tanto, en su aplicación al análisis de las formas, al estudio de sus propiedades, a la construcción de otras nuevas y al desarrollo de capacidades como la intuición geométrica, la visión espacial y la utilización creativa de formas para la comunicación artística.



Criterios de organización y secuencia de los contenidos

Los contenidos de esta materias deben ser organizados y secuenciados teniendo en cuenta una serie de criterios para mantener y propiciar la relación con las demás materias de la modalidad. Estos criterios deberán determinarse teniendo en cuenta el carácter de opcionalidad de la materia, así como las características de los alumnos y alumnas que la cursan --sus necesidades, intereses y motivaciones--. Entre ellos uno de los criterios prioritarios para la secuencia es la competencia curricular que cabe esperar de los estudiantes. El grado de madurez de estos, así como los aprendizajes previos asociados al mismo, constituyen, por sí solos, un dato importante en el momento de secuenciar los aprendizajes a lo largo de cada curso. La lógica interna de la geometría es otro de los criterios fundamentales que hay que tener en cuenta, puesto que va a indicar, necesariamente, una cierta organización temporal de una parte sustancial de los contenidos --por ejemplo, parece claro que es preciso el estudio de las relaciones y proporciones de los lados de triángulos rectángulos previo al estudio de las razones trigonométricas--.

Los núcleos temáticos

A partir de estos criterios, una de las formas más habituales de reorganización y secuencia de los contenidos, para establecer la programación de la materia, es la configuración de unos determinados núcleos temáticos. Estos no tienen que ser, necesariamente, los bloques establecidos en el decreto de currículo, aunque sea esta una de las posibles opciones. Una vez seleccionados estos núcleos, en cada uno, se podría establecer una secuencia de unidades didácticas que fuera tratando espiralmente los contenidos del tema atendiendo a los criterios antes mencionados.

-- Por ejemplo se podría estructurar esta materia en los bloques propuestos y cada uno de ellos en las unidades: El mundo de los polígonos, Dinámica plana y Decoración plana para el primer bloque. El mundo de los poliedros y dinámica espacial para el segundo. Lugares geométricos. Las cónicas y Generación de curvas y superficies para el tercero y Razón y semejanza y Teoría de la proporción para el cuarto(1)--.

-- Otro ejemplo sería estructurar tres núcleos temáticos El plano, El Espacio y Los movimientos, en el primero de ellos se desarrollaría en tres Unidades didácticas Elementos del plano, Las proporciones en el plano y Curvas planas, el segundo en otras tres Elementos del espacio, Las proporciones en el espacio y Curvas y superficies en el arte y la naturaleza y, por último, el tercero en dos Frisos y mosaicos e Isometrías espaciales. Esta distribución establecería una clara separación entre el estudio del plano y del espacio debiendose establecer, en cada caso, las relaciones entre las manifestaciones artísticas planas y espaciales--.

Los centros de interés

Dada la característica de esta materia optativa de servir de base instrumental y formal a la creación artística, otra posibilidad de organizar y secuenciar sus contenidos sería la introducción de contenidos de los diferentes bloques, mediante uno o varios centros de interés que vertebren la incorporación de nuevos conocimientos, técnicas y herramientas matemáticas. Esta programación respondería a unos criterios no lineales en el desarrollo de los contenidos de los bloques, y a una secuencia en espiral en la que conceptos, actitudes y procedimientos se introducen en el momento en que la investigación lo requiere para seguir avanzando.

Por ejemplo un centro de interés podría ser Las matemáticas de la arquitectura griega. En él se incorporarían contenidos de los bloques Elementos y movimientos del plano --polígonos, ángulos, etc.--, Elementos y movimientos en el espacio --Planos, ángulos diédricos, poliedros, etc.-- y Proporciones y medidas --prácticamente completo--. El desarrollo de este centro de interés podría ir paralelo al desarrollo matemático de la geometría --por ejemplo, un estudio de la arquitectura antes y después de Euclides, Thales o Pitágoras, y analizar las posibles diferencias de los estilos de representación--

Otro centro de interés en el que se desarrollarían los contenidos de esta materia sería Las representaciones artísticas en las diferentes culturas. Analogías y diferencias. Desde este punto de vista se pueden estudiar las distintas formas geométricas dominantes en las distintas culturas, así como su utilización en sus creaciones artísticas más representativas. El análisis cultural de la utilización de las formas es un modo de introducirse en la comprensión de otras culturas y una forma de trabajar algunos temas transversales en el desarrollo del currículo de esta materia.

Otros posibles centros de interés podría ser: Los mosaicos de la Alhambra --en el que se incluirían todos los contenidos dinámicos del plano, así como los del bloque de Proporciones y medidas, analizando los movimientos presentes, así como las formas planas representadas y los polígonos de donde provienen y sus medidas y proporciones--, La representación de la perspectiva a lo largo de la Historia; Las matemáticas en la pintura contemporánea; La simetría dinámica en el cubismo; etc.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Planteamientos metodológicos generales

Como se ha indicado anteriormente, las Matemáticas de la Forma es una materia optativa de la modalidad de Artes del Bachillerato en la que se introducen nuevos conceptos y procedimientos matemáticos ajustándolos a la evolución intelectual y cognitiva de los estudiantes y a las necesidades derivadas de su aplicación a este ámbito de conocimiento. Es por esto, por lo que debe realizarse un tratamiento de los contenidos con la finalidad de propiciar, a partir del estudio de situaciones problemáticas del mundo del arte, que los estudiantes sean capaces de formular conjeturas, analizar y construir las formas presentes en la naturaleza y en la creación humana y ampliar su dominio del lenguaje geométrico, todo ello como mecanismo para introducirse en un nivel de formalización suficiente para aplicarlo a otras materias de esta modalidad y estar en disposición de abordar estudios o actividades productivas posteriores relacionados con esta modalidad de Bachillerato.

La resolución de problemas

En este contexto, la resolución de problemas debe constituir uno de los ejes metodológicos fundamentales en el proceso de aprendizaje y de la propia estructuración de los contenidos del currículo de esta materia. Siempre que sea posible, la aproximación a contenidos nuevos debe producirse desde una situación de aprendizaje de resolución de problemas. Es la aplicación de las matemáticas a la resolución de los problemas derivados de la construcción e interpretación de las manifestaciones artísticas la principal finalidad de esta materia y, por tanto, partir de situaciones concretas --estudios de pinturas, publicidad, arquitectura, etc.-- en las que se necesiten elementos matemáticos --proporcionalidad, isometrías, espirales, etc.-- para su análisis y posible resolución, es uno de los métodos de desarrollo de los contenidos de esta materia más acordes con su finalidad educativa. La utilización de la resolución de problemas, en esta materia, puede potenciar su capacidad para la posterior resolución de los problemas que les aparezcan en su actividad artística.

-- Así, por ejemplo, en un problema como el siguiente(2):

Descubre, en los trazados de la arquería gótica del dibujo, como se construyeron gráficamente las curvas presentes.

se presenta una situación, enmarcada en un contexto artístico, que requiere un análisis geométrico para su resolución. Un problema de este tipo puede dar lugar a que los estudiantes analicen los elementos de las circunferencias, investiguen e interpreten sus propiedades en el contexto de la situación y analicen otras situaciones parecidas, con diferentes curvas o polígonos, de manera que se optimice la situación, adoptando la decisión más creativa--.

En general, la utilización metodológica de la resolución de problemas en esta materia, puede hacerse de formas diferentes atendiendo a la diversidad del alumnado, a la estructura de la programación decidida y a las propias preferencias del profesor o profesora que imparte el grupo:

Pudiera emplearse, para introducir una Unidad didáctica, con situaciones motivadoras, que planteen la necesidad de trabajar contenidos nuevos o profundizar en otros ya conocidos.

También se podría utilizar como método más general de manera que los propios alumnos y alumnas fueran descubriendo y acercándose a nuevos conocimientos de una forma más o menos guiada que dependería de la diversidad en el aula.

Otra de las formas posibles sería utilizar problemas de investigación, al final de una unidad o de una parte de ella, para que algunos estudiantes profundicen, mientras otros consolidan conocimientos y otros refuerzan los que les resultan más problemáticos --En este último caso, no debe pretenderse que todos lleguen a los mismos resultados, pues se pretende atender a la diversidad y que cada uno trabaje según sus necesidades--.

Las nuevas tecnologías

Para acercarse a la interpretación de los aspectos matemáticos de las representaciones artísticas es fundamental potenciar su visualización y manipulación, y los medios audiovisuales e informáticos pueden prestar una importante ayuda para ello. La incorporación, de una manera habitual y sistemática, de las Nuevas Tecnologías --ordenadores, transparencias, diapositivas, fotografías, vídeos y otros-- en las actividades de enseñanza y aprendizaje de esta materia, es una de las estrategias metodológicas que es preciso ir incorporando progresivamente a la práctica educativa --la utilización de diapositivas, videos y transparencias, así como programas informáticos de diseño son cada vez más interesantes para el análisis y la creación artística--.

Además hay que tener en cuenta sus diversas formas de utilización, que pueden proporcionar distintas situaciones de aprendizaje. --Por ejemplo la utilización por parte del profesor o profesora de un solo ordenador en el aula, mediante la proyección de la pantalla, plantearía una situación de aprendizaje diferente a la utilización de los ordenadores por los alumnos en un aula especial. Aunque las situaciones de aprendizaje son diferentes, no son incompatibles y ambas dependen de los planteamientos que se hayan establecido en la programación--.

Además, es necesario tener presente que la utilización de los medios informáticos y audiovisuales lleva implícito un enfoque diferente del currículo de esta materia, haciendo variar la importancia relativa de determinadas técnicas y conceptos, y la necesaria variación en el desarrollo de los contenidos seleccionados. Así, por ejemplo, la existencia de vídeos y software informático, que permiten visualizar de una manera sencilla representaciones gráficas de objetos, ofrece la posibilidad de que se pueda dedicar una parte importante de las actividades a la aproximación a los conceptos geométricos implícitos y a su aplicación en la representación artística.

Hay que tener en cuenta que en esta modalidad de Bachillerato la visualización de los objetos geométricos, así como su utilización en la composición artística, es una de sus características más importantes, y la utilización de las nuevas tecnologías va a permitir que los alumnos y alumnas se aproximen significativamente al papel que desempeñan las propiedades geométricas en todas las manifestaciones del arte.

Papel del profesorado

En esta modalidad de Bachillerato las matemáticas tienen, principalmente, un carácter de aplicación que debe marcar todo el planteamiento metodológico de esta materia. En este sentido, y dado que una de las principales aplicaciones de las Matemáticas de la Forma es el análisis y resolución de problemas y situaciones de este ámbito de conocimiento, el profesor o profesora debe fomentar que sus estudiantes se enfrenten a situaciones en las que la aplicación de los contenidos matemáticos proporcionen la posibilidad de una discusión sobre la validez de las posibles soluciones en el contexto del problema.

En este sentido el profesor o profesora debe potenciar la investigación de situaciones problemáticas, relacionadas con el arte, sin adelantar resultados ni marcar, de manera rígida, las posibles vías de avance de sus estudiantes. Es preciso estimular a cada estudiante en su investigación con sugerencias concretas cuando éstas sean necesarias, sin olvidar que cada uno de ellos y de ellas es quien debe encontrar sus propios resultados. El profesor o profesora debe actuar como elemento dinamizador y encauzador de las ideas, descubrimientos y vías de avance de los alumnos, actuando más como formulador de preguntas que como expendedor de respuestas.

De cara a la atención a la diversidad de sus alumnos y alumnas, el profesor o profesora debe tener siempre presente que no debe actuar de la misma manera con todos ellos, para lo que es conveniente disponer de actividades complementarias --de refuerzo, ampliación o consolidación-- con el fin de intervenir en un momento determinado en la marcha del trabajo de un grupo o de algún estudiante concreto. Una buena manera de tener presente la diversidad es la utilización de una evaluación diagnóstica o inicial, previa al desarrollo de nuevos conceptos o núcleos temáticos (según se planifique la programación), pues es evidente que no todos los estudiantes tienen dificultades en el trabajo de los mismos contenidos y que algunos pueden tener dificultades en unos temas en que los que otros no los tienen y viceversa.

En la materia de Matemáticas de la Forma, los temas transversales han de contemplarse, fundamentalmente, desde una perspectiva actitudinal. Es importante, por tanto, que el profesor o profesora seleccione situaciones y problemas, en los distintos momentos del proceso de enseñanza y aprendizaje, en los que se tengan en cuenta los contenidos transversales --igualdad de oportunidades, educación para la paz, coeducación, educación ambiental, educación para la salud, etc.-- para resaltar su importancia respecto a las actitudes hacia ellos.

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Orientaciones específicas

la medida

Uno de los problemas más generales en el aprendizaje de los contenidos de las Matemáticas de la Forma se encuentra en relación con la medida y el uso de los números para medir. En todo estudio de formas geométricas es fundamental el estudio de sus medidas --longitud, área y volumen-- y en el problema de la medida hay dos aspectos, fundamentales, intrínsecos en este tema: contar y comparar. --Esta materia es optativa de la modalidad de Artes del Bachillerato y habrá que tener en cuenta, para el tratamiento didáctico de la medida, las otras materias de la modalidad que tendrán que cursar los estudiantes--

Cuando, para realizar una construcción geométrica, se utiliza el compás para trasladar una medida un número determinado de veces, o para construir un exágono regular se utiliza la medida del radio para construir los lados, se están utilizando propiedades geométricas importantes y es básico ser conscientes de que se están utilizando.

Para establecer la medida directa de una forma geométrica es preciso establecer una comparación entre ella y un patrón establecido, que tendrá una cierta graduación de tal manera que nos permita establecer la medida del objeto con la precisión que necesitemos. En la Educación Secundaria Obligatoria se han desarrollado una serie de contenidos básicos de la medida --unidades de medida, Sistema métrico decimal, medida de ángulos, utilización de regla, compás y portaángulos como instrumentos de medida, estimación, etc.-- que tiene que servir de base para el desarrollo de los contenidos relativos a esta tema. Es a partir de ellos desde donde se deben estudiar las propiedades métricas más importantes para el análisis y creación de formas geométricas. La utilización y estudio de las medidas antropométricas puede ser otro punto de partida para el estudio y comprensión del problema de la medida.

Sin embargo uno de los aspectos más problemáticos se deriva del tipo de magnitud --lineales, cuadráticas o cúbicas-- del objeto a medir, esto es, uno de los problemas de aprendizaje es la no distinción entre longitudes áreas y volúmenes. Un ejemplo claro está en el problema que se les plantea a los alumnos y alumnas en la distinción entre la variación del perímetro y del área de una figura al realizar una transformación no isométrica en ella --por ejemplo, la variación del área de un rombo al modificar sus ángulos sin modificar la medida de los lados--.

Este problema se acentúa en el caso del volumen. La dificultad de los conceptos de longitud, área y volumen, debida en parte a su grado de abstracción y a su habitual representación es la raíz de este problema.--cuando se representa un polígono suele dibujarse exclusivamente sus lados y no se suele diferenciar, al referirnos a él, el interior (superficie) del contorno (perímetro), este problema aparece también entre circunferencia y circulo (su dibujo es el mismo) y mucho más, en las formas espaciales, como en los poliedros con relación a las aristas, los lados y el volumen--.

Este problema se plantea ya en la Educación Secundaria Obligatoria, pero puede seguir apareciendo en el Bachillerato y, además, puede haber una diversidad amplia de posibles errores entre los estudiantes. Por esto es importante la realización de una evaluación inicial que facilite un diagnóstico de este problema que permitirá al profesor o profesora realizar un tratamiento acorde a las circunstancias. La utilización de materiales manipulables --varillas, cartón, etc.-- y de programas informáticos --DAO, Cabri, etc.-- puede ser muy útil para alumnos y alumnas con dificultades en el aprendizaje de estos conceptos.

la proporcionalidad

Las relaciones de proporcionalidad entre objetos geométricos es otro de los conceptos más difíciles que se han trabajado en geometría en la Educación Secundaria Obligatoria. A la dificultad de la medida se le une la de la relación entre esas medidas. Como se ha comentado en capítulos anteriores las relaciones de proporcionalidad las encontramos en multitud de representaciones artísticas --por ejemplo en la perspectiva esta incluido, de una forma intrínseca, el concepto de proporcionalidad-- y es básico desarrollar, en los alumnos y alumnas, este concepto.

Muchos de los procedimientos empleados en la creación artística están fundamentados en el concepto de proporción -- en la utilización del lápiz con el brazo extendido para trasladar al papel una medida lejana de forma proporcional, se está utilizando el Teorema de Thales-- y, en este sentido, es muy importante que los estudiantes, al realizar estos procedimientos, sean conscientes de ello. Para lograr esta conciencia es necesario que se realicen actividades que pongan de manifiesto la proporcionalidad y ésta se calcule por diversos métodos, estudiando el margen de error de cada uno de ellos. La utilización de vídeos, transparencias y programas informáticos va a permitir una visualización más fácil de la proporcionalidad entre las formas, sobre todo en el espacio, y su empleo cotidiano en el aula es un recurso metodológico importante para el tratamiento de este tema.

El análisis de las relaciones de proporcionalidad entre superficies o entre volúmenes resulta más complicado para los estudiantes --en la Educación Secundaria Obligatoria ya se ha tratado el tema de la proporcionalidad, pero sobre todo en su vertiente lineal--, la dificultad que representa el estudio y análisis de la semejanza entre figuras se acrecienta al trabajar las áreas --por ejemplo en la construcción de un polígono semejante, de área doble, a otro dado-- y mucho más al trabajar volúmenes --vease el típico ejemplo de error como el que Vitrubio relata en la construcción de un altar cúbico, de doble volumen que otro existente, mediante la duplicación de sus aristas--.

El problema básico es que la proporcionalidad de áreas y de volúmenes deja de ser lineal. Es una constante en la literatura fantástica las variaciones sobre el tamaño de los objetos y de las personas --vease, por ejemplo, Alicia en el País de la maravillas de Lewis Carroll o Los viajes de Gulliver de J. Swift-- y ello es debido a la relativa sorpresa que producen los resultados reales que no se corresponden con los que se pueden pensar vulgarmente que parecería lógico que ocurriera --de aquí que resulte tan sorprendente el resultado del problema planteado por Y. Perelman sobre la torre de Eiffel "La torre Eiffel mide, aproximadamente, 300 metros de altura y está construida enteramente de hierro; su peso es de unos 8 millones de kilos. Si encargamos un modelo exacto de dicha torre, también de hierro, que pese sólo un kilo ¿Su altura será mayor o menor que la de un lápiz?"(3)--.

La dificultad estriba en que se aplican proporciones lineales en el cálculo proporcional de las medidas de volumen, además del cálculo de las medidas mismas, y esta concepción está muy extendida entre los estudiantes. Es preciso, por tanto, realizar actividades de este tipo que desmonten estos preconceptos erróneos, al mismo tiempo que les resulten motivadoras para trabajar este tema.

las isometrías en el plano

Los movimientos isométricos de figuras planas se han estudiado ya en la Educación Secundaria Obligatoria, sin embargo existen dificultades en el análisis y elaboración de representaciones artísticas en las que existen estos movimientos. En muchas ocasiones el problema radica en la visualización de los movimientos de las formas geométricas incluidas en una representación

--por ejemplo en un mosaico como el del dibujo adjunto, se puede observar fácilmente que los peces se encuentran girados, pero para muchos estudiantes no es tan fácil determinar el centro y el ángulo de giro para obtener un determinado pez a partir de otro dado--.

El problema se complica cuando en la representación artística existen deslizamientos --composición de simetría axial y traslación paralela al eje de simetría--. La simetría es la isometría plana que presenta más problemas de aprendizaje en los alumnos y alumnas de este nivel educativo. La dificultad estriba en que para realizar una simetría con una figura plana, es preciso salirse del plano para visualizar el movimiento. En la Educación Secundaria Obligatoria ya se ha estudiado este movimiento y, se han utilizado espejos y materiales manipulables para ello, sin embargo en su utilización para el análisis de frisos y mosaicos, así como para su creación va a seguir planteando dificultades a los estudiantes.

Para el desarrollo de la capacidad de visión espacial, y más concretamente del aspecto dinámico de las formas, es muy conveniente la utilización de los medios audiovisuales --vídeos, diapositivas, transparencias--, así como algunos programas informáticos específicos de este tema . La visualización de las isometrías en las representaciones artísticas es fundamental para potenciar el aprendizaje significativo de estos contenidos.

Otro aspecto importante, que conlleva una seria dificultad en su aprendizaje, es la creación de rosáceas, frisos y mosaicos por parte de los alumnos y alumnas que cursan esta materia. Para ello es positivo el estudio y creación de diferentes motivos mínimos a partir de los cuales, realizando las isometrías convenientes, se pueden elaborar las rosáceas, mosaicos o frisos que se deseen.

El color es otro de los elementos que hay que considerar en el estudio de los mosaicos y las representaciones que contienen isometrías. Por un lado, la utilización del color va a permitir obtener diferentes mosaicos a partir del mismo diseño, por otra parte, en el análisis de representaciones, permite identificar módulos dentro de las mismas.

el espacio

A pesar de que los estudiantes se desenvuelven en un mundo tridimensional carecen, en muchos casos, de intuiciones espaciales. Este problema, bastante generalizado, se basa en la dificultad para representar las formas espaciales en el plano.

Un elemento metodológico muy importante para conseguir desarrollar la capacidad de visión espacial es la utilización de las nuevas tecnologías, tanto los medios audiovisuales como distintos juegos y programas informáticos tridimensionales, que simulan el espacio desde el plano y permiten la visualización de las formas espaciales mediante una representación en el plano, potenciando el desarrollo de la abstracción espacial de las propiedades geométricas de las formas.

Otro de los recursos importantes, para el trabajo con formas espaciales, es la utilización de materiales manipulables. A partir del manejo de cuerpos sólidos, sus cortes y truncamientos, se pueden identificar y analizar propiedades importantes de las formas espaciales.

Para el estudio de las isometrías en el espacio los programas y juegos informáticos espaciales van a cumplir un papel metodológico importante --por ejemplo el Tetris espacial, aparte de su aspecto lúdico, implica un desarrollo importante de la capacidad de visualizar distintas isometrías de una forma espacial concreta--. De igual modo, para la identificación y análisis de curvas en el espacio los programas informáticos permiten su visualización de una manera fácil y rápida --si se utilizan programas informáticos, como el Derive, es conveniente que sea el profesor o profesora quien maneje el ordenador, pues la finalidad es la visualización de las curvas espaciales y no su estudio analítico--.

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La evaluación en Matemáticas

La evaluación es un proceso, paralelo al de enseñanza y aprendizaje, que va a servir de base para diferentes propósitos. Por un lado, tiene la finalidad de identificar la evolución de los estudiantes y orientar al profesor o profesora sobre sus líneas de avance y sobre las modificaciones en la planificación del proceso de enseñanza y aprendizaje, esto es para ayudar a comprender mejor lo que los estudiantes saben y como han evolucionado y, teniendo esto en cuenta, tomar decisiones docentes significativas. Por otra parte, la evaluación debe servir para que los estudiantes sean conscientes de su propio proceso --lo que han aprendido, que bloqueos tienen, que necesidades de aprendizaje han aparecido, etc.--.

--No debe confundirse la evaluación con la calificación, puesto que en muchas ocasiones se evalúa a los estudiantes con una finalidad formativa y no calificadora. Aunque en ocasiones la evaluación pueda servir para establecer una calificación, la evaluación debe tener, por encima de esa calificación, un papel formativo y de revisión del proceso de enseñanza y aprendizaje--.

Es necesario, por tanto, plantearse la manera en que se va a controlar el avance de los estudiantes en la consecución de los objetivos de la materia y los métodos que se van a emplear para ello. En este sentido uno de los factores más fundamentales para que puedan extraerse inferencias significativas de la evaluación es la coherencia entre los métodos de enseñanza y los de evaluación.

El aprendizaje de las Matemáticas es un proceso acumulativo que va incrementando y modificando las estructuras conceptuales de cada alumno y alumna, lo que se pretende con la evaluación de los aprendizajes es conseguir una imagen válida y fiable, en cada momento, de la adquisición y la modificación de sus estructuras conceptuales y de sus destrezas procedimentales, tanto para el profesor o profesora como para los propios estudiantes.

No hay que olvidar que esta materia es optativa de la modalidad de Artes y por tanto es muy importante, por medio de la evaluación, comprobar que se están adquiriendo los conocimientos necesarios que van a permitir que los estudiantes los apliquen en otras materias de esta modalidad.

¿Qué evaluar?

Para responder a la pregunta ¿Qué evaluar?, es necesario tener en cuenta los elementos de que consta el proceso de enseñanza y aprendizaje, sus fases y los resultados que queremos obtener.

Los objetivos de la materia Matemáticas de la Forma están formulados en términos de capacidades que tienen que desarrollar los alumnos y alumnas al término de la etapa. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el desarrollo de capacidades no es directamente medible. Del mismo modo que se desarrollan capacidades, a través del proceso de enseñanza y aprendizaje, por medio de los contenidos, la evaluación debe estar basada en ellos. Esto es, es por medio de los contenidos como podemos evaluar los objetivos, pero no de una manera excluyente, pues con esos contenidos se están desarrollando capacidades y estas deben ser el referente de la evaluación.

Los criterios de evaluación

En este sentido los criterios de evaluación --que son el elemento del currículo en que se relacionan los objetivos con los contenidos-- van a ser los que nos marquen las pautas de la respuesta a la pregunta ¿Qué evaluar?, pues los criterios de evaluación indican la manera de medir el grado de desarrollo de los objetivos alcanzado por medio de los contenidos básicos seleccionados.

Los criterios de evaluación son, por tanto, la referencia obligada, no solamente en el momento de la evaluación, sino, también, en el momento de la planificación del proceso de enseñanza y aprendizaje, pues al marcar los contenidos básicos para el logro de los objetivos propuestos, nos indican el grado de desarrollo y la aplicabilidad que deben tener.

Así, por ejemplo, el criterio de evaluación nº 1 (Resolución de 29 de diciembre de 1992, de la Dirección General de Renovación Pedagógica, por la que se regula el currículo de las materias optativas del Bachillerato --BOE nº 25 de 29 de enero de 1993--):

Resolver problemas de cubrimientos en el plano a partir de figuras simples y localizar en un friso o en un mosaico un motivo mínimo que lo pueda generar.

Este criterio pretende averiguar si el alumno/a ha adquirido un conocimiento suficiente de las configuraciones planas y de las técnicas necesarias para llegar a uno de los más bellos recursos de la decoración artística: la simetría del diseño geométrico reflejada en frisos y mosaicos. Con ello se pretende conocer si saben combinar movimientos para crear nuevas figuras y clasificarlas.

Este criterio marca el grado de los contenidos --combinar movimientos para crear nuevas figuras y clasificarlas y también localizar en un friso o en un mosaico un motivo mínimo que lo pueda generar--, indicando la aplicabilidad de estos --Resolver problemas de cubrimientos en el plano a partir de figuras simples-- , e indica la relación entre los contenidos del bloque Elementos y movimientos en el plano con los objetivos 1, 2 y 3 de esta materia(4). Además en él se remarca, por un lado, la identificación del motivo mínimo de un mosaico, así como de los movimientos que hay que realizar con él para reconstruir el mosaico y, por otro, la utilización de las isometrías para elaborar nuevos cubrimientos del plano.

Los criterios de evaluación, por tanto, marcan pautas para evaluación de los aprendizajes de los estudiantes indicando su grado y tipo. No pueden entenderse como tareas de examen pero sí indican en qué tiene que fijarse el profesor o profesora en el momento de evaluar una tarea o actividad de sus estudiantes.

Así, por ejemplo, sea una tarea de evaluación la resolución de un problema como el siguiente:

a) Identifica y señala el motivo mínimo del mosaico adjunto (este mosaico se encuentra en el Palacio de Comares de la Alhambra)

b) Señala los movimientos que hay que hacer con el motivo mínimo para construir este mosaico, indicando los elementos que caracterizan cada movimiento concreto que tengas que hacer.

c)¿Puedes reconstruir el mosaico sólo con un tipo de movimientos? En caso afirmativo indica cuál es. En caso negativo indica todos los movimientos necesarios para reproducir el mosaico.

En este caso hay aspectos de varios criterios de evaluación implícitos --entre ellos el criterio de evaluación referido anteriormente está ampliamente recogido-- que van a proporcionar al profesorado elementos para evaluar distintos elementos del aprendizaje de sus estudiantes --como la comprensión del concepto de motivo mínimo, la identificación y utilización de los giros y traslaciones--.

Esta tarea de evaluación puede haberse realizado en grupo o individualmente, como prueba de examen o como trabajo en clase --que se utiliza para evaluación de la marcha del grupo--, puede haberse planteado al principio de un tema --como evaluación de diagnóstico de lo que los alumnos y alumnas han aprendido en la etapa anterior-- o como resumen de los contenidos de una unidad. Es el profesor o profesora del grupo concreto quien tendrá que estimar cuando y para que utiliza sus instrumentos de evaluación, pero es fundamental que todos ellos tengan en cuenta y estén basados en los distintos aspectos que integran los criterios de evaluación.

Tipos de contenidos

Para evaluar el grado de adquisición de los contenidos por parte de los alumnos y alumnas debemos tener en cuenta, como se ha comentado anteriormente, que no todos los contenidos desarrollados a lo largo de un programa son del mismo tipo.

La adquisición de los conceptos geométricos es un proceso dinámico en el tiempo, no estático y cerrado, y es la aplicación de estos conceptos a situaciones concretas, que los doten de significado para los estudiantes, lo que les permite su comprensión de una manera significativa. Las matemáticas tienen sentido para los estudiantes cuando éstos llegan a asimilar sus conceptos y a entender sus significados e interpretaciones. Por tanto, la evaluación del aprendizaje de los conceptos debe considerar estas situaciones.

Para evaluar el grado de desarrollo en la adquisición de un concepto se deberá tener en cuenta los diferentes aspectos que condicionan el aprendizaje del mismo, como la capacidad de reconocer las condiciones y propiedades que lo determinan; de identificar ejemplos validos y no validos --por ejemplo identificar cuando una figura es un motivo mínimo--; de reconocer sus distintos significados; de aplicarlos a las situaciones que así lo requieran y de conectarlo con otros conceptos --esto excluye la utilización exclusiva, en la evaluación de este tipo de contenidos, de ejercicios en los que los estudiantes tengan que demostrar una mera memorización de definiciones y el simple reconocimiento de estos en ejemplos comunes--.

La evaluación del conocimiento procedimental no debe limitarse a una valoración de la soltura con que los estudiantes ejecuten procedimientos, lo que debe evaluarse, por encima de las destrezas en su aplicación, es su capacidad para determinar cuándo y cómo aplicarlos y por qué funcionan, así como entender los conceptos sobre los que se apoyan y la lógica que los sustentan. El conocimiento procedimental está íntimamente entrelazado con el conocimiento conceptual. De esta manera será precisa la realización de tareas de evaluación en las que los estudiantes tengan que aplicar distintas estrategias de una manera no rutinaria, dando sentido al proceso y al resultado obtenido.

El aprendizaje de las matemáticas también implica desarrollar actitudes --como la tendencia a pensar y actuar de forma positiva valorando las matemáticas como una herramienta potente para analizar y transformar la realidad--. La evaluación del conocimiento matemático incluye una valoración de estos indicadores y del reconocimiento que haga el alumno del papel y el valor de las matemáticas.

Una evaluación de la actitud matemática de los estudiantes requiere información, acerca de sus ideas y acciones, en una gran variedad de situaciones. Esta información se puede recoger por medio de la observación directa de estos mientras participan en discusiones de clase, tratan de resolver problemas, o trabajan en tareas diversas por separado o en grupo. También ofrece una valiosa información sobre su actitud matemática los trabajos escritos, las investigaciones y trabajos a largo plazo, tareas para realizar fuera del aula, las exposiciones orales, etc. La evaluación de la actitud de los alumnos ofrece información muy valiosa sobre los cambios que es preciso introducir en el desarrollo de la programación y en el entorno de trabajo.

Los instrumentos de evaluación

Cuando se valora un proceso y se evalúa a los alumnos y alumnas, debe acumularse la información, que se recoja por distintos medios, para darle sentido a lo que se ha observado o medido. La información acumulada puede utilizarse además, para emitir un informe, para calificales o como indicativo de la validez del proceso y, en su caso, como vía para su reconducción.

Los instrumentos de evaluación que se utilicen deben capacitar al profesorado para entender la forma en que sus estudiantes están percibiendo las ideas y los procesos matemáticos y su capacidad de funcionamiento en un contexto matemático. También deben contribuir a que tanto el profesor o profesora, como los estudiantes, identifiquen los errores o aspectos matemáticos que resulten problemáticos, con objeto de mejorar el proceso enseñanza y aprendizaje. Por tanto la mera asignación de un número a un examen escrito, una calificación numérica que se dé en un momento determinado, no puede dar una imagen completa de los conocimientos de los alumnos, sólo deja entrever aspectos parciales.

Todos los métodos de evaluación deben hacer uso de múltiples técnicas o instrumentos que estén en consonancia con el desarrollo del currículo establecido y tengan en cuenta el propósito final de la evaluación, en este sentido las tareas de evaluación han de ser coherentes con los métodos de docencia. No es lo mismo evaluar si un alumno o alumna a adquirido un a destreza en la aplicación de un algoritmo que si tiene el conocimiento suficiente de un concepto como para aplicarlo cuando la situación de estudio lo requiera. Hay que tener en cuenta que los contenidos son de distinto tipo y, por lo tanto, los instrumentos tienen que ser variados.

La observación como instrumento de evaluación

Hay diferentes tipos de instrumentos y técnicas de evaluación en matemáticas --como los trabajos escritos, los trabajos realizados en grupo durante las clases, las investigaciones y trabajos a largo plazo, las exposiciones orales, explicaciones individuales de un trabajo realizado, informes de los problemas resueltos en grupo, recogida de algunos de los problemas trabajados en una sesión, exámenes individuales o por equipos--, pero uno de los instrumentos de evaluación, especialmente significativo en la materia de Matemáticas de la Forma, es la observación del profesor o profesora sobre el progreso de sus estudiantes, lo que convierte a la evaluación en un proceso cotidiano, continuo y dinámico.

La recogida de la información generada por la observación puede hacerse mediante la utilización de plantillas en las que se subrayen los elementos que queremos evaluar mediante la observación y que permitan una información clara y concisa. Es especialmente importante que el uso de dichas plantillas no sea complicado ni tedioso para el profesor o profesora y, sobre todo, que no suponga una dedicación de tal nivel que dificulte su puesta en práctica.

En la mayoría de las ocasiones no es preciso observar a toda la clase sino que una observación reducida produce información suficiente para estar al corriente de la marcha del proceso.

La autoevaluación

Es importante desarrollar en el estudiante la actitud crítica sobre su propio trabajo y el de sus compañeros. En este sentido, es conveniente incorporar al proceso de evaluación del aprendizaje la opinión del sujeto activo del mismo, mediante técnicas de autoevaluación.

Los objetivos de la autoevaluación serían:

  1. contrastar las opiniones de cada estudiante y las del profesor o profesora a lo largo del proceso de evaluación,
  2. implicar al alumnado en todas las fases del desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje,
  3. enjuiciar críticamente el trabajo propio, la planificación de las actividades y el material utilizado.

¿Cuándo evaluar?

La evaluación es un proceso enmarcado en el propio proceso de enseñanza y aprendizaje en el que cabe distinguir tres fases: una primera de carácter inicial y de diagnóstico, una segunda, desarrollada a lo largo del proceso y de carácter formativo y una tercera de carácter final que sirva de análisis de la consecución de objetivos por los alumnos.

Hay que remarcar que la evaluación es un proceso y como tal en ella se darán estas fases en repetidas ocasiones a lo largo de un mismo curso. Además, como ya se ha indicado, una misma tarea de evaluación puede servir para identificar los conocimientos iniciales de los estudiantes sobre algún contenido novedoso, al mismo tiempo que para evaluar la evolución de estos en la adquisición y aplicación de otros.

A continuación se analiza brevemente cada una de estas fases:

Inicial o de diagnóstico

A lo largo del proceso o formativa

Final o sumatíva

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BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS

Bibliografía

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ALSINA, C. TRILLAS, E. (1986). Lecciones de Álgebra y Geometría, Barcelona, Gustavo Gili.

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SÁNCHEZ SORDO, M. (1986). Fundamentos de geometría. Madrid: Playor,

WOOD, L.E., (1987). Estrategias de pensamiento, Barcelona: Labor.

Otros libros de interés

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BRIHUEGA, J. Y OTROS (1985) Didáctica de las Matemáticas: Geometría Comunidad de Madrid col.: Programa de formación del profesorado; Madrid.

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COXETER, H. S. M. (1971) Fundamentos de Geometría Limusa Wiley: Mexico.

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GUZMÁN, M. DE. (1991). Aprender a pensar. Barcelona: Labor.

MORA, J.A. y RODRIGO, J. (1993). Mosaicos 1. Col. 2 Puntos, Granada: Proyecto Sur.

N.C.T.M. (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Sevilla: S.A.E.M. Thales.

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POLYA, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Tecnos.

PUIG ADAM, P. (1956) Didáctica de la Matemática Eurística Inst. de Formación Laboral; Madrid.

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Recursos audiovisuales

Los recursos audiovisuales deben ser un instrumento de uso cotidiano como recurso didáctico en este nivel educativo. La utilización de este material abarca todas las fases de cada actividad práctica ya que se puede utilizar como introducción de un tema a investigar, como herramienta de trabajo en el desarrollo de la investigación, como soporte para la presentación de resultados e incluso como instrumento para la evaluación de los alumnos y alumnas y de la actividad.

Los principales recursos de que se podría disponer son:

Videos didácticos

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Recursos informáticos

En el uso del ordenador ha de evitarse confundir el fin con los medios y evitar utilizar herramientas cuyo dominio exija un esfuerzo en tiempo y recursos que no se vea compensado con el resultado final. Se debe tener siempre presente que no se trata de "enseñar Informática". Por el contrario, se trata de aplicar la herramienta informática al desarrollo y aprendizaje de la materia. Por ello, se deben buscar programas de fácil manejo y que no requieran unos grandes medios en cuanto a los recursos físicos.

Software didáctico


Notas


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