Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas.  El problema es determinar los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función.

Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y  económicos entre otros.

El tratamiento que figura en los currículos actuales de bachillerato es puramente analítico, y el proceso de resolución  no siempre es bien entendido por nuestros alumnos.

Procedimiento analítico

1.- Expresión de la magnitud que se desea optimizar.

2.- Si la expresión anterior tienen más de una variable, relacionarlas mediante las condiciones del enunciado.

3.- Sustituir en la primera expresión de forma que esta sólo dependa de una variable.

4.-Imponer la condición de extremo relativo, esto es, derivada primera igual a cero y despejar la variable.

5.- Mediante la derivada segunda comprobar si el  extremo es máximo o mínimo.

6.- Calcular el resto de variables y el valor de la función optimizada.

Este rutinario y sencillo procedimiento suele presentar dificultades aún los casos más sencillos. Una de las causas hay que buscarla en que no se comprende y visualiza correctamente el problema a resolver.

Mediante una sencilla aplicación con programas de geometría dinámica, fácilmente se visualiza el problema.

Se presentan 10 ejemplos.

Es necesario  instalar el Plug-in Cabri II Plus para ver e interactuar con las construcciones.

1.- AREA MÁXIMA	2.- VOLUMEN MÁXIMO	3.-ÁREA MINIMA

De forma similar puede construirse un modelo para cualquier problema de este tipo:

4.-Inscribir el rectángulo de área máxima en una semicircunferencia de radio r.

5.- Inscribir el trapecio de área máxima en una semicircunferencia de radio r.

6.-Rectángulo y semicírculo de área máxima, perímetro dado.

7.- Cilindro de de volumen máximo con área fija.

8.-Rectángulo de área máxima inscrito en triángulo isósceles.

11.- Rectángulo de área máxima inscrito en el triángulo rectángulo formado por los ejes y una recta.

12.- Rectángulo de área máxima inscrito en el triángulo  formado por el eje X,   la recta que corta a los ejes en los puntos X e Y y la recta y = m x.

13.-Dado el punto P (x,y)  en el primer cuadrante, determinar la recta que pasa por él, que determina con los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.