TEOREMA DE VARIGNON
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TEOREMA DE VARIGNON |
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Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígono que determinan los puntos medios (E,F,G,H ) de sus lados es un paralelogramo. El área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero inicial.
En primer lugar veamos esta propiedad para cuadriláteros no cruzados.
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Mueve los vértices A, B, C, D y observa que EFGH siempre es paralelogramo. Esta propiedad es válida si el cuadrilátero ABCD es no convexo.
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El cuadrilátero de abajo es idéntico al superior. Podemos ver de forma sencilla que el área de paralelogramo es la mitad que la del cuadrilátero. El triangulo OHE se obtiene trasladando CGF por tanto sus áreas son iguales. Análogamente OGF es una traslación de AHE. Los triángulos OHG y OEF son simetrías centrales de DHG y BEF respectivamente respecto de los puntos indicados. Por tanto área OHG = área DHG área OEF = área BEF
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| Esta forma de obtener los triángulos anteriores también "demuestra" que EFGH es un paralelogramo. |
Figure thvarignon.fig
Si el cuadrilátero es cruzado, al menos en parte es válido el teorema:
Figure thvarignon2.fig
Siendo en este caso el área del paralelogramo, la semidiferencia en valor absoluto del área de los triángulos que se forman cuando el cuadrilátero es cruzado.
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