Dado el triángulo ABC, encontrar un punto F, tal que la suma de distancias FA + FB + FC sea mínima.

Al  punto F se le denomina Punto de Fermat.

En los applet siguientes se comprueba fácilmente que F es interior al triángulo  si cada uno de sus ángulos es menor de 120º. Si uno de los ángulos es mayor de 120, con la construcción que se realiza F es exterior al triángulo, y obviamente no verifica la condición de distancia mínima, que en este caso sería el vértice de ángulo mayor de 120.

Construcción del Punto de Fermat. Una de las posibles construcciones es similar a la realizada para el triángulo de Napoleón.
El punto de Fermat verifica que la suma de distancias desde él hasta los vértices es mínima.
Punto de Fermat en un triángulo isósceles.
GENERALIZACIÓN A UN CUADRILÁTERO.
¿Cuál es el camino más corto para unir los cuatro vértices de un cuadrado?
¿El método obtenido es válido para un paralelogramo?
¿Puede generalizarse a un cuadrilátero cualesquiera?

Páginas con información sobre el Punto de Fermat.

http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/fermat.htm 

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Torricelli/ 

http://galeon.com/solucionfermat2/solufer1.htm

http://www.galeon.com/solucionfermat2/

Paginas sobre Fermat.

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ferm.html

http://caminantes.metropoliglobal.com/web/biografias/fermat.htm

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/pagjor/pfermat.htm