1.- División de un segmento en media y extrema razón. División Áurea de un segmento.

El valor del cociente AB/AE se le denomina número de oro, normalmente representado por F.

El cálculo de F es inmediato, basta con tomar por ejemplo EB =1 en la relación anterior, con lo que tenemos:

(F+1)/F = F/1; F²= F+1; de donde F = (1+ raiz(5))/2 = 1,61803.... la solución positiva. 

Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio)

Esta división de un segmento ya aparece en los Elementos de Euclides, en concreto en el Libro VI, aunque con una construcción diferente.

Posteriormente, en el Renacimiento, a esta proporción se la denominó, divina proporción.

2.-Rectángulo áureo. Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en que la base y la altura están en proporción áurea. Si a y b son los lados,  a/b = F

Algunas formas de construir este famoso rectángulo son:

Partiendo de un cuadrado.	A partir del triángulo 3-4-5	A partir del Triángulo rectángulo 1-2	Partiendo de un doble cuadrado

Una forma de reconocer si un rectángulo es áureo.

El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro.

En realidad es una falsa espiral, ya que está constituida por arcos de circunferencia  y por tanto no hay una variación continua del radio.

3.-El número de oro se encuentra en algunos polígonos regulares.

Construcción del pentágono regular y de el decágono regular a partir de la división Áurea de un segmento.

Euclides, siglo III a.c. definió la división de un segmento en media y extrema razón para construir mas fácilmente estos polígonos regulares.

El pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos, es la figura geométrica en que el número de oro tiene mayor presencia.

También encontramos este apasionante número en uno de los poliedros platónicos, el icosaedro. El icosaedro puede formarse uniendo los vértices de tres rectángulos áureos perpendiculares.

Mucho se ha escrito sobre la presencia del número de oro en el arte, en la naturaleza, en las proporciones del cuerpo humano, así como en tarjetas de crédito,...aquí no vamos a entrar en estos aspectos, en las referencias que se indican a continuación puedes profundizar en este apasionante número, que suele designarse con la letra F. 

Paginas con información sobre el numero de oro.

http://www.cnice.mecd.es/recursos/secundaria/matematicas/phi/index.htm Muy completa e interesante.

http://www.arrakis.es/~mcj/notas006.htm de La gacetilla Matemática.

http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-013.htm

 http://aula.el-mundo.es/aula/laminas/numero.pdf

 http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/La_razon_aurea/unidad_didactica.htm Applet Descartes

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm