POTENCIA DE UN PUNTO.

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias desde el  punto P a las intersecciones con la circunferencia por una secante arbitraria.
Mueve el punto A, y observa que el producto PA· PA' es constante para cada punto P.

Potencia de P =  PA ·  PA'

La potencia es independiente de la secante elegida. Demostración.

Observa que Pot (P) es positiva si P exterior a la circunferencia, y negativo para P interior. P = 0 si P pertenece a la circunferencia.
 

potencia1.fig

VALOR DE LA POTENCIA DE UN PUNTO P
PA· PA' es independiente de la secante elegida.

Si se toma como secante la recta que pasa por el centro se tiene : 

Potencia = PA· PA'=(d-r)(d+r)= d2 - r2.
d2-r2 es:  > 0 si  d>r, esto es P exterior a circunferencia.

 = 0  si d=r , P sobre la circunferencia

 <0  si d< r , P interior a la circunferencia
   

potencia2.fig

 

Sea P un punto exterior a la circunferencia.

Sea PT = t el segmento tangente a la circunferencia c desde P. (PT es perpendicular a OT)

La recta tangente, es el limite de la secante, por tanto           Pot(P,c)=PT2 = t2

De donde     d2-r2 = t2,     o bien    t2 + r2 = d2 Teorema de Pitagóras . (El triángulo POT es rectángulo)

 
 

potencia3.fig

 

Sea ahora P Interior a la circunferencia.
Potencia de P = PA · PB = PC· PD = PC2 (si prescindimos del signo);

El triangulo ABC es rectángulo.

Se obtiene PA· PB = PC2  teorema de la altura.

 

potencia5.fig