EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas esta formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto a las dos circunferencias.  (Lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias).

Se demuestra que este lugar geométrico es una recta perpendicular a la que une los centros de las circunferencias.(1*)

Construcción del eje radical.

 

1.- Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene a los puntos de intersección.

Los puntos de intersección de las circunferencias, (potencia cero) tienen igual potencia respecto a las circunferencias. El eje radical es una recta, luego ha de ser la recta que contiene a los puntos de corte de las circunferencias.

 

Comprueba moviendo P, que su potencia (distinta para cada P) es igual respecto a las dos circunferencias.

ejerad1.fig

 2.- Circunferencias no secantes.
A partir de la construcción anterior, y con ayuda de dos circunferencias auxiliares s1 y s2, (cada una de ellas secantes a c1 y c2 ) puede construirse el eje radical de circunferencias exteriores o interiores.

Mueve las circunferencias s1 y s2 (y sus centros) de forma que sean secantes a c1 y c2.

 

ejeradical22.fig

Comprueba que si las circunferencias son concéntricas, no existe eje radical. (recta en el infinito).
si utilizamos el resultado (1*) basta con trazar una circunferencia auxiliar s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ejeradical2.fig

 

 

También puede determinarse el eje radiacal a partir de las rectas tangentes a las circunferencias.

El eje radical contiene a los puntos medios de los segmentos tangentes (exteriores o interiores) a dos circunferencias.

A partir de las tangentes exteriores.

A partir de las tangentes interiores.

ejeradical3.fig

ejeradical4.fig

La construcción de tangentes exteriores distingue cual es la circunferencia mayor.

Esta construcción del eje radical es válida para circunferencias exteriores.

 

La siguiente construcción presenta el trazado del eje radical para dos circunferencias cualesquiera no concéntricas.

ejeradical5.fig

Mueve los centros de la circunferencias, y el tamaño de estas y observa la posición en cada caso del eje radical.

Mueve también el punto P.