| POLÍGONOS: POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. |
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Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.
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Algunas propiedades de los polígonos:
| La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2). | En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360. | Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2 | |||
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Polígonos regulares: convexos y estrellados.
POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.
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En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono
regular. Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n Angulo interior = 180 - 360/n Área = Perímetro x Apotema /2; A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos de base L y altura a (L/2)2 + a2 = r2 por ser triangulo rectángulo L/2, r y a |
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.
No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta.
Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.
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N=3 Triangulo Equilátero |
N= 4
Cuadrado . |
N=5 Pentágono Regular |
N=6 Hexágono Regular |
N=8 Octógono Regular. |
N=10 Decágono Regular |
N=15 Pentadecágono Regular |
N=17 Heptadecágono Regular |
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Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado. |
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Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes. |
Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección: 6, 8, 10, 12,... lados.
Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares
con número de lados También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares
de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos habían fracasado.
En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la
construcción de alguno de estos, que es aproximada, aunque a veces no se
indique con claridad.
En la imagen ampliada se observa la aproximación.
Existen
procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de
lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico. POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados.
Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices no
consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua. No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas. La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono
estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al
otro 45º.
esto es,
de lados N=3 (n=0), N=5 (n=1),
N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).
Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados.
A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las
inmediaciones del vértice A.
| OCTÓGONO ESTRELLADO 8/3 | ESTRELLA FORMADA POR DOS CUADRADOS. | |
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| Un polígono estrellado
N/M se construye a partir del polígono regular N
uniendo puntos de M en M. En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres. Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.
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También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes. |
Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.
Ejercicios:
1.- ¿Cual es la suma de los ángulos interiores de un decágono?
2.- ¿Que Polígono regular tiene ángulo central 45º?
3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?
4.- ¿Cuanto vale el ángulo interior de un eneágono regular?
PAGINAS CON INFORMACIÓN SOBRE POLÍGONOS
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm Con Descartes.
Paginas sobre Gauss
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm de la Página de Antonio Pérez.
http://www.geocities.com/grandesmatematicos/cap14.html Página Los Grandes Matemáticos.
