UNA PARTIDA DE BILLAR.

Un desarrollo similar al que se expone puedes verlo en http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/indice.htm de la Página de Miguel de Guzmán, una de las mejores páginas de matemáticas que conozco. Aquí me he limitado a realizar alguno de los dibujos en Cabri para que puedan ser manipulados. En la referencia anterior puedes además ver algunas de las demostraciones.

Vamos a utilizar el juego del billar como disculpa para estudiar geometría. Jugamos sin efectos, las bolas son puntos, los choques en las bandas totalmente elásticos. Tampoco vamos a preocuparnos de hacer carambolas, nos conformamos con que una de las bolas impacte en la otra tras chocar en las bandas que determinemos previamente.

En primer lugar nuestro campo de juego será un rectángulo y continuaremos con un triángulo, que sin duda da más juego geométrico. Como ya dijo alguien "Toda la geometría cabe en un triángulo".

Comenzamos viendo el choque a una banda,  independiente de la forma de la mesa.

Pincha sobre el gráfico para acceder al applet. 

  

MESA RECTANGULAR. 

Puedes variar en cada applet el tamaño del rectángulo así como la posición de las bolas. 

Una  banda

Dos  bandas

  Tres  bandas  Cuatro bandas

Dado un punto cualquiera P, ¿es posible que tras rebotar en las cuatro bandas la bola vuelva al punto P?

 Es fácil ver  que este problema (cuando tiene solución por las bandas predeterminadas) es equivalente al que se representa  a la derecha.  Dado P en una banda, tras chocar en las otras tres que la bola regrese a P.

MESA TRIANGULAR.  

Como en el caso de la mesa rectangular, podemos estudiar las carambolas, a 1,2 y 3 bandas, pero no aporta nada nuevo, es repetir lo visto antes. 

Presenta más interés estudiar la siguiente situación: Bola sobre una de las bandas y tras chocar en las otras dos volver al punto de partida. 

Vamos a ver como el juego del billar nos ayuda a resolver un problema: determinar el triangulo de perímetro mínimo inscrito en un triangulo acutángulo. Alguna de las situaciones que se plantean tienen solución en algún caso particular para triángulos no acutángulos, no nos vamos a ocupar de ellas.

Vamos a resolver el problema por partes, analizando cada una de las  situaciones siguientes.

Primera situación:

Dados dos puntos P,Q sobre dos de los lados del  triángulo determinar R para que PQR sea de perímetro mínimo.

 

Segunda situación

Dado P sobre un lado del triangulo determinar Q,R uno en cada uno de los otros dos lados para que PQR sea de perímetro mínimo.

 

Tercera situación. 

¿Donde han de estar situados P, Q y R para que el perímetro de este triángulo sea mínimo?

 

 

Otras páginas con geometría y billar

 http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/jugando_al_billar/billar.htm con Descartes.