CALCULO DE LA SUMA     1+ 2  + 3 +....+ N

 

  

 

 

En un polígono de n lados el numero de lados + diagonales es:

 

viñeta Del primer vértice que consideremos parten n-1 segmentos. A todos los vértices menos a él mismo
viñeta Del siguiente uno menos, (excluyendo los ya contados) esto es n-2
viñeta Del siguiente, n-3
viñeta ....
viñeta Y del ultimo 1.

Luego en total L + D = 1+2+3+...+(n-1)

 

   Si consideramos que de cada vértice parten n -1 segmentos (lados o diagonales) y hay n vértices, el numero total es

L + D = (n-1)* n /2   (dividiendo por dos para no contar dos veces)

 

 

 

Para determinar el número de diagonales basta con restar n a la expresión anterior.

D = (n-1)n /2 -n = (n2-n-2n)/2 = n (n-3)/2      

resultado al que ya habíamos llegado.

  

El recuento de diagonales nos ha permitido sumar la expresión:

1+2+3+...+ n-1 = (n-1)n/2

 
Si en vez de sumar hasta n-1 sumamos hasta n :      1 + 2 + 3  +...+ n = n (n + 1) / 2

Veamos ahora otra forma de calcular esta suma.
  1 + 2 + 3 + ... n-1 + n   si ponemos los sumandos en orden contrario,
  n + n-1 + n-2 + .... 2 + 1   Sumando término a término se obtiene n(n+1)
_________________________________________
  n+1 n+1       n+1 n+1              esto es        2(1+2+3+...+ n-1 + n) = n (n + 1)    
                                                                        De donde                 1+2+3+...+(n-1) + n = n(n+1) /2

 Gauss a los 9 años de edad impresionó a su maestro, (realizando la suma de los 1000 primeros números naturales) , razonando de forma similar .  1+2+3+..+1000 = 1000· 1001/2.
También podemos realizar esta suma con un planteamiento geométrico.

Podemos expresar la suma 1+2+3+4+.... + n como aparece en la figura:

Mueve el botón que se indica y aparece más claro el valor de su suma.

polidiag3.fig