CUADRILÁTERO INSCRITO

 

 
     
 
     

 

Si un cuadrilátero esta inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son suplementarios. Y recíprocamente, todo cuadrilátero con los ángulos opuestos suplementarios es inscriptible.
La "demostración" grafica es sencilla.

El ángulo A es la mitad de del arco BCD,

El ángulo C la mitad de BAD.

Como BCD + BAD es una circunferencia completa = 360 º, se tiene que A+C = 180º

Figure cuadri_insc1.fig

Los siguientes teoremas enuncian algunas de las propiedades de los cuadriláteros inscritos.

TEOREMA DE PTOLOMEO:

Si el cuadrilátero  ABCD está inscrito en una circunferencia, entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales:

AB * CD + AD * BC = AC * BD

 

 

TEOREMA DE PASCAL.

 Este teorema es mucho más amplio, se presenta aquí la particularización a cuadrilátero inscrito en circunferencia.

 

a) En un cuadrilátero inscrito, los  dos puntos de intersección de los lados opuestos y los dos de intersección de tangentes en vértices opuestos, están alineados.

 

O también: para cada  lado (AB) del cuadrilátero:

b) La intersección (E) de AB con CD, la intersección (G) de BC con la tangente a la circunferencia en A, y la intersección (F) de AD con la tangente en C están alineados.

 

TEOREMA JAPONÉS.

Dado un cuadrilátero inscrito, podemos triangularle de dos formas distintas.

a) La suma de los radios de las circunferencias inscritas es independiente de la triangulación elegida.

b) Los cuatro incentros forman un rectángulo.

Este enunciado es una incluye un caso particular (cuadriláteros) del primer teorema japonés y el segundo teorema japonés.

 

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