LOS PROBLEMAS DE APOLONIO ( 4)

Dados dos puntos y una circunferencia, hallar la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la circunferencia. (PPC)

Se presentan dos situaciones:

1.- Uno de los puntos  pertenece a la circunferencia, pudiendo ser el otro interior o exterior.

Sean A (perteneciente a c) y B los puntos y c la circunferencia.

El centro de la circunferencia tangente buscada está en la intersección de la mediatriz de AB con  el diámetro ( o su prolongación ) que pasa por A.

Mueve B para comprobar que la construcción es válida tanto si B es interior como exterior a C.

Lógicamente si B pertenece a c, la circunferencia que resuelve el problema es la dada.

ApoPPC2.fig

 

2.- Si ninguno de los puntos pertenecen a la circunferencia, sólo hay solución si son ambos interiores o ambos exteriores.

Se traza una circunferencia cualquiera s, que pase por A y B sea secante a la circunferencia dada c.

Sea D el punto de intersección del eje radical de las circunferencias c y s con la recta que contiene a los puntos dados A y B.

Se trazan las tangentes desde D a la circunferencia c. Sean P, Q los puntos de tangencia.

P y Q son también los puntos de tangencia que buscamos. El problema queda reducido ahora a calcular las circunferencias c1 que pasa por ABP y c2 que pasa por ABQ. Resuelto en el apartado 1)PPP.

 

ApoPPC1.fig

La construcción anterior es válida tanto si A y B son ambos interiores a c como ambos exteriores. Mueve uno de ellos para comprobar que no hay solución si uno es interior y el otro exterior.