LOS PROBLEMAS DE APOLONIO (3)

 Construir una circunferencia que sea tangente a  tres rectas dadas.  (RRR)

Sean r,s,t las tres rectas. Los posibles casos vienen dados por las posiciones relativas de tres rectas en el plano.

 

 

 

 

1.- Las tres rectas son secantes dos a dos, esto es determinan un triángulo.

Hay en esta situación 4 circunferencias solución: la circunferencia inscrita y las tres circunferencias exinscritas.

Recordemos que la circunferencia inscrita tiene su centro en la intersección de las bisectrices interiores del triangulo, y cada una de las circunferencias exinscritas tiene el centro en la intersección de las bisectrices exteriores. (perpendiculares a las interiores).

 

apoRRR1.fig

 

2.- Sea r paralela a s y t que corta a ambas.

apoRRR2.fig

 

La circunferencia tangente a dos rectas secantes tiene su centro en la bisectriz de ambas.

la circunferencia tangente a dos paralelas, tiene su centro en la paralela media.

 Se construye la  paralela media m, y las bisectrices u, v.

Las soluciones del problema, son por tanto las circunferencias c1 y c2 que tienen su centro en la intersección de la paralela media con las bisectrices de cada una de las rectas r y s con t.

3.- si r, s y t son paralelas, no hay ninguna circunferencia tangente a las tres.