LOS PROBLEMAS DE APOLONIO ( 5)

Dado un punto y dos rectas, construir la circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos rectas. (PRR)

Se distinguen los siguientes casos, en función de la posición relativa de las dos rectas y la posición del punto respecto a ellas.

1.- Las dos rectas son secantes.

a) El punto no pertenece a las rectas.

Se determina el punto P' simétrico de P respecto de la bisectriz de las rectas.

El problema se reduce a determinar la circunferencia (s) que pasa por P, P' y es tangente a las dos rectas.

Problema ya estudiado en PPR.

 

ApoPRR1.fig

b)El punto está en una de las rectas.

Se trazan las bisectrices de las rectas y la recta perpendicular por A a la recta que lo contiene.

Las circunferencias solución están en las intersecciones de las rectas trazadas.

 

ApoPRR2.fig

2.- Las dos rectas son paralelas.

Es claro que sólo hay solución si el punto está comprendido entre ellas.

Basta con trazar la paralela media y una circunferencia que pase por el punto A de radio la semidistancia entre las rectas dadas. La intersección de esta circunferencia con la paralela media determina los centros de la circunferencia solución.

Comprueba que las circunferencias solución son tangentes si el punto pertenece a la paralela media.


 ApoPRR3.fig

 

La solución es inmediata si el punto A pertenece a una de las rectas.


 ApoPRR4.fig

Muchos problemas de tangencias, se pueden resolver por inversión. Este es un ejemplo sencillo de resolución por inversión.