BILLAR Y GEOMETRÍA 

Mesa Triangular. (2-3)

Veamos finalmente donde ha de estar situado P en uno de los lados del triangulo, para que el perímetro del triangulo inscrito sea mínimo.

 

Mueve P para comprobar que el triangulo PQR es de perímetro mínimo cuando P=I, siendo I el pie de una de las  alturas.

En esta situación, observa que es triángulo PQR también pasa por los pies de las otras dos alturas.

Esto es el triangulo mínimo inscrito es el conocido como triángulo órtico

Vamos a probar geométricamente que en efecto es así.

 

Figure billart23.fig

Sea HIJ el triangulo órtico, y XYZ otro triángulo también construido con la ya conocida técnica del billar.(Mínimo, fijado X)

Veamos que el triangulo XYZ es de perimetro mayor que HIJ. 

De lo visto en apartados anteriores sabemos que perímetro HIJ = distancia (H, H''). De forma análoga, perímetro XYZ = distancia (X,X'')

Hay que  probar que d(X,X'')>d(H,H'')

Definimos el vector XH, y trasladamos el segmento XX'' según ese vector, (lo hacemos para que los segmentos HH'' y XX'' tengan origen común y sea más facil compararlos)

El segmento trasladado HX''' es de igual medida que XX'' (la traslación conserva distancias)

Se obtiene un triángulo de vértices HH''X'''  que es rectángulo en H'', en el que HH'' es un cateto y HX'''=XX'' es la hipotenusa, con lo que "queda probado" que XX'' es mayor que HH''.

¿Es casual que este triángulo sea rectángulo? o ¿es otra de las maravillas de la geometría?

Figure Billarortico.fig

 


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